专题02 圆锥曲线中面积的最值问题分析-2020年高考数学（文）解题技巧归纳（圆锥曲线与方程）

专题02 圆锥曲线中面积的最值问题分析 溯本求源 来源：北师大版高中数学必修五第48页，给出如下三角形的面积公式： 评析：为以后使用方便，在中，设，，则． 流金岁月 变式：(2015上海高考节选)已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为．设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明． 【答案】见解析． 【解析】直线，点到的距离． ，所以． 审思明辨 变式：已知椭圆：，为椭圆的右焦点，为坐标原点，直线过点与椭圆交于，两点．求证： （1）当时，，当且仅当直线斜率时，； （2）当时，，当且仅当直线斜率不存在时，． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）设，，直线． 得，所以， 故． ，令，则． ， 对于函数，由． 得函数于单调递减，于单调递增，又． 当时，即，，得， 当且仅当直线斜率时，． （2）当时，即，，得． 当且仅当，，即直线斜率不存在时，． 【名师点评】圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，首先换元法，简化代数结构，然后根据函数的特征选用导数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法． 经典赏析 【例1】（2019全国II理21）已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−．记M的轨迹为曲线C． （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G． （i）证明：是直角三角形； （ii）求面积的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）（i）证明见解析，（ii）证明见解析． 【解析】（1）由题设得，化简得， 所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点． （2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为． 由得，记，则． 于是直线的斜率为，方程为． 由得．① 设，则和是方程①的解，故，由此得． 从而直线的斜率为． 所以，即是直角三角形． （ii）由（i）得，， 所以△PQG的面积． 设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号． 因为在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为． 因此，△PQG面积的最大值为． 【名师点评】圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，多次换元，不断简化代数结构，然后由均值不等式法求最值注意“一正二定三相等”． 【例2】(2019北京人大附中高三月考)如图，抛物线：的焦点为，以为直角顶点的等腰直角的三个顶点，，均在抛物线上． （1）过作抛物线的切线，切点为，点到切线的距离为2，求抛物线的方程； （2）求面积的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）过点的抛物线的切线：， 联立抛物线：，得， ，即． ∵，到切线的距离为， 化简得，∴， ∵，∴，得， ∴，∴抛物线方程为． （2）已知直线不会与坐标轴平行，设直线：， 联立抛物线方程得，则，， 同理可得；∵，即， ∴，即， ∴． ∵（当且仅当时，等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 故，面积的最小值为． 【名师点评】本题考查抛物线的切线方程、直线与抛物线的位置关系、韦达定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意基本不等式应用时要验证等号成立的条件． 【例3】(2020浙江高二期末)如图，已知椭圆经过点，且离心率，圆以椭圆的短轴为直径．过点P作互相垂直的直线，，且直线交椭圆C于另一点D，直线交圆于A，B两点． （1）求椭圆和圆的标准方程； （2）求面积的最大值． 【答案】（1）椭圆的方程为，圆的方程为；（2）． 【解析】（1）由题意得：， 椭圆的方程为，圆的方程为． （2）设，，，由题意直线的斜率存在且不为， 设的方程为：，的方程：， 圆心到直线的距离为，，， ， 联立方程：， 所以，， 设， ， 当且仅当，即，时取等号． 【名师点评】本题主要考查了根据的值求椭圆方程以及椭圆中三角形面积问题，换元法，令，注意限制新变量的范围，简化分母形式，结合二次函数求最值，注意最值成立条件分析． 【例4】(2015浙江高考)已知椭圆上两个不同的点，关于直线对称． （1）求实数的取值范围； （2）求面积的最大值（为坐标原点）． 【答案】（1）或；（2）． 【解析】方法1：（直曲联立，韦达定理） （1）由题意知，可设直线AB的方程为． 由，消去，得． ∵直线与椭圆有两个不同的交点，∴，①， 将AB中点代入直线方程解得②． 由①②得或． （2） 令，则． 且O到直线AB的距离为，设的面积为． ∴，当且仅当时，等号成立， 故面积的最大值为． 方法2：（设而不求点差处理） （1）设，，线段中点为． 得，则． 又，故，直线为． 得，由于在椭圆内． ．故实数的取值范围是． （2）（三角换