专题05 平面向量-2020年高考数学(理)必考点强化辅导【学科网名师堂】

专题05 平面向量 【知识再现】 1.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律：; (2)第一分配律：; (3)第二分配律： 2.向量的数量积的运算律： (1) = ; (2) = =; (3) 3.平面向量基本定理  如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得=． 不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 4．向量平行的坐标表示   设=,=，且，则 ()存在唯一使得. 5. 与的数量积(或内积) =． 6. 的几何意义 数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积． 7.平面向量的坐标运算 (1)设=,=，则=. (2)设A，B,则. (3)设=，则=. (4)设=,=，则=. 8.两向量的夹角公式 (=,=). 9.向量垂直的充要条件 设=,=， ()=0. 10.三点共线的充要条件及中点公式   （1）P、Q、M三点共线（）. （2）P是线段QM的中点 若M,N,则线段QM的中点（） 11. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则 （1）为的外心. （2）为的重心. （3）为的垂心. （4）为的内心. （5）为的的旁心. 【易混易错】 易错点1．遗漏零向量 【例1】 已知 与 平行，则 值的个数是________． 【错解】由 得 ，即 ，解之得 ， （舍），∴ 的值只有一个． 【错因】零向量与任一向量平行，当 时，为零向量，也与平行． 【正解】由 得 ，解得 ， ，∴ 的值应有两个． 易错点2．弄错两个向量的夹角 【例2】 在 中, ,则 的值为 ( ) A 20 B C D 【错解】因为 , ，故选A. 【错因】弄错向量 与 的夹角． 【正解】由题意 ,故 ，选B. 【纠错训练】已知 中， ，则 是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定 【解析】 ，所以 ，故选C． 易错点3．忽略向量平移的不变性 【例3】 向量 按向量a =(1,2)平移后为（ ） A．（4，6） B．（2，2） C．（3，4 ） D．（3，8） 【错解】A． 【错因】向量平移不改变． 【正解】由向量平移不变性，选C． 【纠错训练】已知A（3，7），B（5，2），向量 按 平移后所得向量是 ． A．（2，-5） B．（3，-3） C．（1，-7） D．以上都不是 【解析】 ，由向量平移不变性，故选A． 易错点4．认为与的夹角为钝角（锐角） 致错 【例4】设平面向量 EMBED Object ，若 ， 的夹角为钝角，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【错解】由 ， 的夹角为钝角，所以 ，即 ，解得 ，故选C． 【错因】忽视使用 时，其中包含了两向量反向的情况． 【正解】由 ， 的夹角为钝角，所以 ，即 ，解得 ， 又当 共线且反向时， ，得 ． 所以 的取值范围是 且 ，故选A． 【纠错训练】若向量 = ， = ，且 ， 的夹角 为钝角，则 的取值范围是_______. 【正解】 EMBED Equation.DSMT4 ， 的夹角 为钝角, EMBED Object 解得 或 (1) 又由 共线且反向可得 (2) 由(1),(2)得 的范围是 EMBED Object . 易错点5．向量数量积的性质理解不透彻 【例5】向量 ， 都是非零向量，向量 与 垂直， 与 垂直，求 ， 的夹角． 【错解】由题意，得 ，① 　 　 ，② 　　将①、②展开并相减，得 ，③　　 ∵ ，故 ，④ 将④代入②，得 ，则 ，设 ， 夹角为 ，则 ． 　　∵ ，∴ ． 【错因】上面解法表面上是正确的，但却存在着一个理解上的错误，即由③得到④，错把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上．由于向量的数量积不满足消去律，所以即使 ，也不能随便约去． 【正解】设向量 ， 的夹角为 ，由上面解法有 ，代入①式、②式均可得 ，则 ， 　　∴ ．又∵ ，∴ ． 【纠错训练】如果 ，且 ，那么（ ） A． B． C． D． 在方向上的投影相等 【解析】 ，说明 在方向上的投影相等，故选D. 易错点6．记错两个向量平行的坐标关系 【例6】已知向量 ， ， ，若 ∥ ，则m＝ . 【错解】 ∵ ，又 ∥ ，∴ ， 得 . 【错因】把“若 ， ，则 EMBED Object ”错记成“ ”. 【正解