专题2.4.2 平面向量数量积的的坐标表示、模、夹角重难点题型（举一反三）-2019-2020学年高一数学必修四举一反三系列（新课标人教A版）

2.4.2平面向量数量积的的坐标表示、模、夹角重难点题型 【知识点1 向量数量积的坐标表示】 1.已知两个非零向量，， 2.设，则或 3.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式). 【知识点2 向量在几何中的应用】 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件 (2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件 (3)求夹角问题． 由向量，数量积可知，若它们的夹角为，则， 利用 (4)求线段的长度，可以利用或 【考点1 向量模的坐标表示】 【例1】（2020•漳州一模）已知向量，满足，，，则　　． 【变式1-1】（2019春•桃城区校级月考）已知向量，，且，的夹角，若，则实数的值为　　． 【变式1-2】（2019秋•文峰区校级月考）已知向量，向量，的夹角是，且，则　　． 【变式1-3】（2019秋•双流区校级月考）已知平面向量与的夹角为，若，，则　　． 【考点2 向量夹角的坐标表示】 【例2】（2019秋•安徽期末）已知向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为　　． 【变式2-1】（2019•西湖区校级模拟）向量，，满足，，若，的夹角为，则　　 【变式2-2】（2019•西湖区校级模拟）已知，．若与的夹角是锐角，则的取值范围　　． 【变式2-3】（2019秋•雁峰区校级月考）已知平面向量，，，且与的夹角等于与的夹角，则　　． 【考点3 建系解决向量问题】 【例3】（2019秋•大武口区校级月考）已知在直角梯形中，，，，若点在线段上，则的最小值为　　． 【变式3-1】（2018秋•越秀区期末）如图，在直角梯形中，，，，．若，，则与的夹角的余弦值是　　． 【变式3-2】（2018•河西区一模）在直角三角形中，，，，，则　 　． 【变式3-3】（2019•成都四模）在直角三角形中，，，对平面内的任意一点，平面内有一点使得，则　　． 【考点4 平行或垂直问题】 【例4】（2019秋•安徽月考）已知向量，， （1）若，求的值； （2）若，求的值 【变式4-1】（2018秋•番禺区期末）已知向量，． （1）当为何值时，向量与垂直； （2）当为何值时，向量与平行． 【变式4-2】（2019春•新乡期末）已知向量，． （1）当为何值时，与垂直？ （2）若，，且，，三点共线，求的值． 【变式4-3】（2018秋•滨海新区期末）已知平面直角坐标系中，，，． （Ⅰ）若，，三点共线，求实数的值 （Ⅱ）若，求实数的值； （Ⅲ）若是锐角，求实数的取值范围． 【考点5 数量积与三角函数的综合问题】 【例5】（2019•江苏一模）已知向量，． （1）求向量与的夹角； （2）若，求实数的值． 【变式5-1】（2019春•菏泽期末）已知，，，．，，． （1），求的值： （2）是否存在实数，使得？若存在，求出的取值范围：若不存在，请说明理由． 【变式5-2】（2019春•湛江期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点、、，且向量． （Ⅰ）若，且，求向量； （Ⅱ）若向量与向量共线，为正常数，求函数的值域． 【变式5-3】（2019春•枣庄期末）已知向量，，，，，． （1）若，，且，求的值； （2）对于，，，，定义，．解不等式，； （3）若存在，使得，求的取值范围． 【考点6 数量积在平面几何中的综合应用】 【例6】（2019•静安区一模）已知为坐标原点，向量，，，，． （1）求证：； （2）若是等腰三角形，求的值． 【变式6-1】（2019•西湖区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知四边形是等腰梯形，，点，满足，点在线段上运动（包括端点），如图． （1）求的余弦值； （2）是否存在实数，使，若存在，求出满足条件的实数的取值范围，若不存在，请说明理由． 【变式6-2】（2019秋•北镇市校级月考）如图所示，，，，其中． （1）若，试求与之间的表达式； （2）在（1）的条件下，若又有，试求的值及四边形面积． 【变式6-3】（2019秋•徐州期末）如图，在菱形中，，，且为对角线上一点． （1）求； （2）若，求； （3）连结并延长，交于点，连结，设（0≤λ≤1）．当为何值时，可使最小，并求出的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 2.4.2平面向量数量积的的坐标表示、模、夹角重难点题型 【知识点1 向量数量积的坐标表示】 1.已知两个非零向量，， 2.设，则或 3.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式). 【知识点2 向量在几何中的应用】 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件 (2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件 (3)求夹角问题． 由向量，数量积可知，若它们的夹角为，则， 利用 (4)求线段的长