第三篇 第9练 三角恒等变换、解三角形（课件+word）-2020高考数学【步步高】考前三个月(京津鲁琼版)

第9练　三角恒等变换、解三角形[小题提速练] 题组一　三角恒等变换 要点重组　(1)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α.α＝(α－β)＋β等． (2)降幂公式：sin2α＝，cos2α＝. (3)辅助角公式：asin θ＋bcos θ＝sin(θ＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝. 1．(2018·全国Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α等于(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　B 解析　∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝. 2.的值是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　原式＝ ＝ ＝＝. 3．(2019·滨州模拟)函数y＝(cos x＋sin x)cos的单调递增区间是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z)[来源:学.科.网Z.X.X.K] D.(k∈Z) 答案　B 解析　函数的解析式y＝(cos x＋sin x)sin x ＝sin xcos x＋sin2x＝sin 2x＋ ＝＋sin. 函数的单调递增区间满足2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋π(k∈Z)，[来源:学科网ZXXK] 表示为区间形式即(k∈Z)．故选B. 4．(2019·江西省重点中学协作体联考)若＝sin 2θ，则sin 2θ等于(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　B 解析　由题意得＝ ＝2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ， 将上式两边分别平方，得4＋4sin 2θ＝3sin22θ， 即3sin22θ－4sin 2θ－4＝0， 解得sin 2θ＝－或sin 2θ＝2(舍去)， 所以sin 2θ＝－. 5．(2018·全国Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. 答案　－ 解析　∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，② ∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－， ∴sin(α＋β)＝－. 6．若α∈，则的最大值为________． 答案　 解析　∵α∈， ∴＝＝，且tan α>0. ∴＝≤＝. 当且仅当tan α＝，即tan α＝2时，等号成立．[来源:学科网] 故的最大值为. 题组二　解三角形 要点重组　(1)＝＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， sin A＝，sin B＝，sin C＝， a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. (2)a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C. 推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C. (3)S△ABC＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 7．(2018·全国Ⅱ)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB等于(　　) A．4 B. C. D．2 答案　A 解析　∵cos ＝， ∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－. 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32， ∴AB＝＝4. 8．(2019·100所名校联考)若△ABC的面积S＝2BC·sin Bsin C，则△ABC的外接圆半径R为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 答案　B 解析　由S＝2BC·sin Bsin C＝AC·BCsin C得 4sin B＝AC， ∴＝4＝2R，∴R＝2. 9．(2019·临沂模拟)在△ABC中，a＝3，c＝2，bsin A＝acos，则b等于(　　) A．1 B. C. D. 答案　C 解析　由正弦定理得， sin B·sin A＝sin A·cos， ∵sin A≠0，∴sin B＝cos＝cos B－sin B. 即sin B＝cos B，∴tan B＝， ∵B∈(0，π)，∴B＝. 再由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B ＝9＋12－2×3×2×＝3，∴b＝. 10．(2019·驻马店模拟)在△ABC中，若b2＋c2＝a2－bc，且·＝－4，则S△ABC＝________. 答案　 解析　由b2＋c2＝a2－bc得， cos A＝＝－，∴sin A＝， 又·＝bccos A＝－bc＝－4，∴bc＝， ∴S△ABC＝bcsin A＝××＝. 11．在△ABC中，a，b，c分别是内