第三篇 第12练 数列的综合问题（课件+word）-2020高考数学【步步高】考前三个月(京津鲁琼版)

第12练　数列的综合问题[大题规范练] 题组一　等差数列、等比数列的判定与证明 要点重组　(1)证明数列{an}是等差数列的基本方法： ①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数； ②利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)． (2)证明数列{an}是等比数列的基本方法： ①利用定义，证明(n∈N*)为一常数； ②利用等比中项，即证明a＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)． 1．(2019·聊城模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－n. (1)证明：{an＋1}为等比数列； (2)求数列{Sn}的前n项和Tn. (1)证明　因为Sn＝2an－n， 所以当n＝1时，S1＝2a1－1，即a1＝1. 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－(n－1)． 所以an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1－1， 即an＝2an－1＋1. 所以an＋1＝2an－1＋2＝2(an－1＋1)． 又a1＋1＝2，所以{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列． (2)由(1)知{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， 因此an＋1＝2×2n－1＝2n，故an＝2n－1. 所以Sn＝2(2n－1)－n＝2n＋1－(n＋2)． 所以Tn＝S1＋S2＋S3＋…＋Sn ＝22－3＋23－4＋24－5＋…＋2n＋1－(n＋2) ＝(22＋23＋24＋…＋2n＋1)－[3＋4＋5＋…＋(n＋2)] ＝－ ＝2n＋2－－4(n∈N*)． 2．已知数列{an}满足a1＝2，且an＋1＝2an＋2n＋1，n∈N*. (1)设bn＝，证明：{bn}为等差数列，并求数列{bn}的通项公式； (2)在(1)的条件下，求数列{an}的前n项和Sn. 解　(1)把an＝2nbn代入到an＋1＝2an＋2n＋1， 得2n＋1bn＋1＝2n＋1bn＋2n＋1， 两边同除以2n＋1， 得bn＋1＝bn＋1，即bn＋1－bn＝1， ∴{bn}为等差数列，首项b1＝＝1，公差为1， ∴bn＝n(n∈N*)． (2)由bn＝n＝，得an＝n×2n， ∴Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n， ∴2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1， 两式相减，得－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝(1－n)×2n＋1－2， ∴Sn＝(n－1)×2n＋1＋2(n∈N*)． 题组二　数列的通项与求和 要点重组　(1)根据数列的递推关系求通项的常用方法 ①累加(乘)法 形如an＋1＝an＋f(n)的数列，可用累加法； 形如＝f(n)的数列，可用累乘法． ②构造数列法 形如an＋1＝，可转化为－＝，构造等差数列；[来源:学_科_网Z_X_X_K] 形如an＋1＝pan＋q(pq≠0，且p≠1)，可转化为an＋1＋＝p构造等比数列. (2)数列求和的常用方法[来源:学|科|网] ①倒序相加法；②分组求和法；③错位相减法；④裂项相消法． 3．(2019·100所名校联考)已知数列{an}是各项均不为0且公差为2的等差数列，Sn为其前n项和，且满足a＝a1S2n－1，bn＝＋. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)a＝a1S2n－1＝＝a1(2n－1)an. 因为an≠0，所以an＝(2n－1)a1＝a1＋2(n－1)， 解得a1＝1，所以an＝2n－1(n∈N*)． (2)Sn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2， bn＝＋＝＋2n－1 ＝＋2×n， Tn＝×(1＋2＋…＋n)＋2× ＝＋(n∈N*)． 4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝4n. (1)求a2，a3的值； (2)证明：{an}是等差数列； (3)记bn＝an·，求数列{bn}的前n项和Sn. (1)解　由a1＝1，得a2＝4×1－a1＝3， 由a2＝3，得a3＝4×2－a2＝5. (2)证明　由an＋an＋1＝4n，得an＋1＋an＋2＝4n＋4， 两式相减得an＋2－an＝4. ∴{a2k－1}是以1为首项，4为公差的等差数列， 故a2k－1＝1＋(k－1)·4＝4k－3， 即当n为奇数时，an＝2n－1， {a2k}是以3为首项，4为公差的等差数列， 故a2k＝3＋(k－1)·4＝4k－1， 即当n为偶数时，an＝2n－1， 综上，an＝2n－1(n∈N*)， 即{an}是等差数列． (3)解　由(2)知bn＝(2n－1)·22n－1， 则Sn＝1·21＋3·23＋…＋(2n－1)·22n－1，① 4Sn＝1·23＋3·25＋…＋(2n－3)·22n－1＋(2n－1)·22n＋1，② ①－②得－3Sn＝1·21＋2－(2n－1)·22n＋1 ＝2＋2·－(