第三篇 第13练 空间几何体、表面积与体积（课件+word）-2020高考数学【步步高】考前三个月(京津鲁琼版)

第13练　空间几何体、表面积与体积[小题提速练] 题组一　空间几何体的表面积与体积 要点重组　(1)求三棱锥的体积时，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上． (2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体． 1．已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为(　　) A．4 B. C．2 D．4 答案　B 解析　设长方体的三条棱的长分别为x，y，z，则可得体对角线的长为＝＝＝.故选B. 2.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，则四面体P－AEF的高为(　　) A. B. C. D．1 答案　B 解析　由题意可知PA，PE，PF两两垂直，[来源:学科网] ∴PA⊥平面PEF， ∴VA－PEF＝S△PEF·PA＝××1×1×2＝， 设P到平面AEF的距离为h， 又S△AEF＝22－×1×2－×1×2－×1×1＝， ∴VP－AEF＝S△AEF·h＝××h＝， ∴＝，故h＝， 故选B. 3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点E在棱BB1上，动点F在线段A1C1上，O为底面ABCD的中心，若BE＝x，A1F＝y，则四面体O－AEF的体积(　　) A．与x，y都有关 B．与x，y都无关 C．与x有关，与y无关 D．与y有关，与x无关 答案　B 解析　因为VO－AEF＝VE－OAF， 所以考察△AOF的面积和点E到平面AOF的距离的积， 因为BB1∥平面ACC1A1， 所以点E到平面AOE的距离为定值， 又AO∥A1C1， 所以OA为定值，点F到直线AO的距离也为定值， 即△AOF的面积是定值， 所以四面体O－AEF的体积与x，y都无关，故选B. 4．在四面体P－ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则四面体P－ABC的体积为(　　) A．3 B．2 C. D. 答案　C 解析　如图，延长CA至D，使得AD＝3，连接DB，PD， 因为AD＝AB＝3，故△ADB为等腰三角形， 又∠DAB＝180°－∠CAB＝120°， 故∠ADB＝(180°－120°)＝30°， 所以∠ADB＋∠DCB＝90°，即∠DBC＝90°，故CB⊥DB， 因为PB＝4，PC＝5，BC＝3，所以PC2＝PB2＋BC2， 所以CB⊥PB， 因为DB∩PB＝B，DB⊂平面PBD，PB⊂平面PBD， 所以CB⊥平面PBD， 所以V三棱锥P－CBD＝V三棱锥C－PBD＝×CB×S△PBD， 因为A为DC的中点， 所以V三棱锥P－ABC ＝V三棱锥P－CBD＝×3×S△PBD＝S△PBD， 因为DA＝AC＝AP＝3，故△PDC为直角三角形， 所以PD＝＝＝， 又DB＝AD＝3，而PB＝4，故DB2＝PD2＋PB2即△PBD为直角三角形， 所以S△PBD＝×4×＝2， 所以V三棱锥P－ABC＝，故选C. 5．某圆锥体的侧面图是圆心角为π的扇形，当侧面积是27π时，则该圆锥体的体积是________． 答案　18π 解析　设圆锥的母线长为l， 则侧面展开图扇形的面积S＝×l2＝27π，∴l＝9. 又设圆锥的底面圆半径为r，则2πr＝l， ∴r＝l＝3， ∴圆锥的高h＝＝＝6， ∴该圆锥体的体积是V圆锥＝·πr2·h＝×π×9×6＝18π. 6．(2019·天津)已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________． 答案　 解析　由题意可得，四棱锥底面对角线的长为2，则圆柱底面的半径为，易知四棱锥的高为＝2，故圆柱的高为1，所以圆柱的体积为π×2×1＝. 题组二　多面体与球 要点重组　(1)设球的半径为R，球的截面圆半径为r，球心到球的截面的距离为d，则有r＝. (2)当球内切于正方体时，球的直径等于正方体的棱长，当球外接于长方体时，长方体的体对角线长等于球的直径；当球与正方体各棱都相切时，球的直径等于正方体底面的对角线长． (3)若正四面体的棱长为a，则正四面体的外接球半径为a，内切球半径为a. 7．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设圆柱的底面圆半径为r，则r＝＝，所以圆柱的体积V1＝π·()2×2＝6π.又球的体积V2＝π×23＝π，所以球的体积与圆柱的体积的比＝＝，故选D. 8．(2019·乌鲁木齐质检)正方体的表面积是6.它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是(　　)[来源:Zxxk.Co