第三篇 第15练 空间向量与立体几何（课件+word）-2020高考数学【步步高】考前三个月(京津鲁琼版)

第15练　空间向量与立体几何[大题规范练] 题组一　平行、垂直关系的证明 要点重组　(1) (2)设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为u＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则有： l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0； l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，k∈R； α∥β⇔u∥v⇔u＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3，λ∈R； α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0. 1.如图所示，已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证： (1)DE∥平面ABC； (2)B1F⊥平面AEF. 证明　(1)由直三棱柱的性质，得A1A⊥AB，A1A⊥AC，又BA⊥AC，如图，以点A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz，令AB＝AA1＝4， 则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)． 取AB的中点N，连接CN， 则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)， ∴＝(－2,4,0)，＝(－2,4,0)， ∴＝，∴DE∥NC. 又∵NC⊂平面ABC，DE⊄平面ABC， ∴DE∥平面ABC. (2)∵＝(－2,2，－4)，＝(2，－2，－2)，＝(2,2,0)， ∴·＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， ·＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0. ∴⊥，⊥，即B1F⊥EF，B1F⊥AF. 又∵AF∩EF＝F，AF，EF⊂平面AEF， ∴B1F⊥平面AEF. 2.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证： (1)B1D⊥平面ABD； (2)平面EGF∥平面ABD. 证明　方法一　(几何法) (1)∵AB⊥BC，平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，∴AB⊥平面BCC1B1， ∵B1D⊂平面BCC1B1，∴B1D⊥AB， 在△B1BD中，B1B＝4，BD＝B1D＝2， ∴B1B2＝BD2＋B1D2，∴B1D⊥BD， 又BD∩AB＝B，BD，AB⊂平面ABD， ∴B1D⊥平面ABD. (2)∵G，F分别为A1C1，B1C1的中点， ∴GF∥A1B1∥AB. ∵GF⊄平面ABD，AB⊂平面ABD， ∴GF∥平面ABD.[来源:学科网] 取B1B的中点M，连接MC1，则EF∥MC1， 又MC1∥BD，∴EF∥BD， 又EF⊄平面ABD，BD⊂平面ABD， ∴EF∥平面ABD. 又GF∩EF＝F，GF，EF⊂平面EGF， ∴平面EGF∥平面ABD. 方法二　(坐标系法) (1)以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，C1(0,2,4)． 设BA＝a，则A(a,0,0)， 所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)． ·＝0，·＝0＋4－4＝0. 则⊥，⊥，即B1D⊥BA，B1D⊥BD. 又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD， 因此B1D⊥平面ABD. (2)由(1)知，E(0,0,3)，G，F(0,1,4)， 则＝，＝(0,1,1)， ·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0， 则⊥，⊥，即B1D⊥EG，B1D⊥EF. 又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF， 因此B1D⊥平面EGF. 结合(1)可知平面EGF∥平面ABD. 题组二　空间角的求解 要点重组　设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)． (1)线线角 设l，m所成的角为θ，则cos θ＝＝. (2)线面角 设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝＝|cos〈a，u〉|. (3)二面角 设平面α与平面β所成二面角的平面角为θ，则|cos θ|＝＝|cos〈u，v〉|. 3．(2019·浙江)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点． (1)证明：EF⊥BC； (2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值． 方法一　(1)证明　如图，连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A