第三篇 第19练 概率与统计的综合问题（课件+word）-2020高考数学【步步高】考前三个月(京津鲁琼版)

第19练　概率与统计的综合问题[大题突破练] 题组一　随机变量的分布列、期望与方差 要点重组　(1)求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率． (2)如果随机变量X能够断定服从超几何分布或二项分布，则其概率可直接利用公式求解． 1．(2019·天津)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立． (1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望； (2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率． 解　(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故X～B，从而P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3. 所以，随机变量X的分布列为 X 0 1 2[来源:学§科§网Z§X§X§K] 3 P 随机变量X的数学期望E(X)＝3×＝2. (2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～B，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}．由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，从而由(1)知 P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P(X＝3，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0)＝P(X＝3)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0)＝×＋×＝. 2．甲、乙两名运动员互不影响地进行四次射击训练，根据以往的数据统计，他们射击成绩均不低于8环(成绩环数以整数计)，且甲、乙射击成绩(环数)的分布列如下： 甲 环数 8 9 10 概率 p 乙 环数 8 9 10 概率 q (1)求p，q的值； (2)若甲、乙两射手各射击两次，求四次射击中恰有三次命中9环的概率； (3)若两个射手各射击1次，记两人所得环数的差的绝对值为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 解　(1)由题意得p＝，q＝. (2)记事件C：甲命中一次9环，乙命中两次9环，事件D：甲命中两次9环，乙命中一次9环，则四次射击中恰有三次命中9环为事件C＋D， ∴P(C＋D)＝C×××C2＋C2×C××＝. (3)ξ的取值分别为0,1,2， P(ξ＝0)＝×＋×＋×＝， P(ξ＝1)＝×＋×＋×＋×＝， P(ξ＝2)＝×＋×＝， ∴ξ的分布列如下表： ξ 0 1 2 P [来源:Z*xx*k.Com] ∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 题组二　利用期望与方差破解决策性问题 要点重组　利用随机变量的期望与方差可以帮助我们作出科学的决策，其中随机变量x的期望的意义在于描述随机变量的平均程度，而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况，品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器性能好坏等很多指标都与两个特征量有关． 3．(2018·全国Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立． (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0； (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． ①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)； ②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 解　(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝Cp2·(1－p)18(0<p<1)． 因此f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17] ＝2Cp(1－p)17(1－10p)，0<p<1. 令f′(p)＝0，得p＝0.1. 当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0. 所以f(p)的最大值点为p0＝0.1. (2)由(1)知，p＝0.1. ①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y. 所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝40＋25×180×0.1＝490(元)． ②若对余下的产