专题03 导数及其应用-2020年高考数学(理)必考点强化辅导【学科网名师堂】

专题03 导数及其应用 【知识再现】 1. 函数在点处的导数的几何意义 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是. 2.几种常见函数的导数 (1) （C为常数）. (2) . (3) . （4) . (5) ；. (6) ; . 3.导数的运算法则 （1）. （2）. （3）. 4.复合函数的求导法则 设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作. 5.曲线的切线问题 ①求曲线在某点的切线：先求出曲线在该点的导数即为切线的斜率，再用点斜式求出切线方程. ②求曲线过某点的切线：先设出切点的坐标，求出曲线在切点的导数，利用切线过已知点，求出切点坐标，从而求出切线方程. 6.函数的单调性问题 （1）函数的单调性与导数的关系 设函数在某个区间内可导，若，则为增函数；若，则为减函数. （2）用导数函数求单调区间方法 求单调区间问题，先求函数的定义域，在求导函数，解导数大于0的不等式，得到区间为增区间，解导数小于0得到的区间为减区间，注意单调区间一定要写出区间形式，不用描述法集合或不等式表示，且增（减）区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明增（减）区间是谁，若题中含参数注意分类讨论； (3) 已知在某个区间上的单调性求参数问题 先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数））0恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加. 7.函数的极值与最值问题 （1）函数极值的概念 设函数在附近有定义，若对附近的所有点，都有，则称是函数的一个极大值，记作=； 设函数在附近有定义，若对附近的所有点，都有，则称是函数的一个极小值，记作=. 注意：极值是研究函数在某一点附近的性质，使局部性质;极值可有多个值，且极大值不定大于极限值;极值点不能在函数端点处取. （2）函数极值与导数的关系 当函数在处连续时，若在附近的左侧，右侧，那么是极大值；若在附近的左侧，右侧，那么是极小值. 注意：①在导数为0的点不一定是极值点，如函数，导数为，在处导数为0，但不是极值点； （3）函数的极值问题 ①求函数的极值，先求导函数，令导函数为0，求出导函数为0时，方程的根和导数不存在的点，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减，则在这一点取值极大值，若左减右增，则在这一点去极小值，要说明在哪一点去极大（小）值； ②已知极值，求参数，先求导，则利用可导函数在极值点的导数为0，列出关于参数方程，求出参数，注意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为0的必要不充分条件，故需将参数代入检验在给点的是否去极值； ③已知三次多项式函数有极值求参数范围问题，求导数，导函数对应的一元二次方程有解，判别式大于0，求出参数的范围. 8.最值问题 （1）最值的概念 对函数有函数值使对定义域内任意，都有（）则称是函数的最大（小）值. 注意：①若函数存在最大（小）值，则值唯一；最大值可以在端点处取；若函数的最大值、最小值都存在，则最大值一定大于最小值. ②最大值不一定是极大值，若函数是单峰函数，则极大（小）值就是最大（小）值. （2）函数最问题 （1）对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值；（2）对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式≤（≥）（是自变量，是参数）恒成立问题，≥（≤），转化为求函数的最值问题，注意函数最值的区别于联系. 9.导数的综合问题 （1）对不等式的证明问题，先根据题意构造函数，再利用导数研究函数的单调性与最值，利用函数的单调性与最值证明不等式；注意应用前面小题结论； （2）对含参数的恒成立问题、存在成立问题，常通过参变分离，转化为含参数部分大于另（小于）一端不含参数部分的最大值（最小值）问题，再利用导数研究函数的最值，若参变分离后不易求解，就要从分类讨论和放缩方面入手解决，注意恒成立与存在成立问题的区别. 10. 定积分 （1）定积分的几何意义 若=（≥0），则积分的几何意义是直线=，=，轴及曲线=围成的曲边梯形的面积. (2)定积分的性质 ①=， ②= ③=（＜＜） （3）微积分基本定理 若是区间[,]上的连续函数，且=，则=. （4）积分问题 ①求定积分，利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则从反向求出，再微积分基本定理和积分运算性质求出定积分； ②利用积分求平面图形面积，应首先画出平面图形