专题01 圆锥曲线中心弦与中点弦的性质-2020年高考数学（文）解题技巧归纳（圆锥曲线与方程）

专题01 圆锥曲线中心弦与中点弦的性质 溯本求源 推广延伸 推广1：如图，已知椭圆，为经过对称中心的弦，为椭圆上异于，的点，直线，斜率存在，则． 【证明】设，，则， ， ． 推广2：如图，已知椭圆，为经过对称中心的弦，为椭圆上异于，的点，直线，斜率存在，则． 【证明】证明方法同推广1，此处不再赘述． 归纳统一 已知二次曲线，为经过对称中心的弦，为该曲线上异于，的点，直线，斜率存在，则． 【证明】证明方法同推广1，此处不再赘述． 类比联想 中点弦性质：如图，设二次曲线：，，为该曲线上的两点，为弦中点，为坐标原点，则． 【证明】方法1：（代数证明）设，， 则中点． ，， ． 方法2：（几何证明）如下图，由于，易知， ∵为中心弦，∴， ∴． 经典赏析 类型1：直抒胸臆型 【例1】（2014江西）过点作斜率为的直线与椭圆：相交于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于______________． 【答案】 【解析】由椭圆中点弦性质可得，则，故． 【例2】（2013新课标1）已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 【答案】D 【解析】，得， ∴=，又9==，解得=9，=18， ∴椭圆方程为， 故选D． 类型2：共线转化型 【例3】(2018浙江)已知点，椭圆()上两点，满足，则当=______________时，点横坐标的绝对值最大． 【答案】5 【解析】设，由，，得，即， 故中点为，由，得， 所以． 当时，最大值为4．故． 类型3：参数范围型 【例4】（2018全国卷Ⅲ节选）已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为．证明：． 【答案】证明见解析． 【解析】设，，则，， 上述两式相减，则． 由题设知，，故，于是． 由得，故． 【注意】解答题使用中点弦性质必须点差法证明． 类型4：几何转化型 【例5】已知椭圆：的左右顶点分别为，，，点在上，在轴上的射影为的右焦点，且． （1）求椭圆的方程； （2）若，是上异于的不同两点，满足，直线，交于点，求证：在定直线上． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】（1），，，椭圆：． （2）如图，设，直线，，的斜率，，． ，． 由，得． 所以，故设直线：， 设直线：，则，则两直线的交点横坐标为． 故点在定直线上． 【注意】解答题欲用中心弦性质，切记必须先证明． 【例6】已知椭圆：内一点，过点的两条直线分别与椭圆交于，和，两点，且满足，（其中且），若变化时直线的斜率总是为，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，分别取，的中点为，，连接，． ，， 故，，三点共线， 由于，得，平行于， 由中点弦性质知：，得，所以． 故选D． 【例7】已知椭圆：的焦距为，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，，且，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），，， 故椭圆的方程． （2）如图，设，，中点为． 则，，又， ，直线的方程为：． 【注意】解答题欲用中点弦性质，切记必须先用点差法证明． 寄语 特别感谢周立政老师、邹书生老师、西瓜老师、兰琦老师以及本门弟子R.C.Lau，范慕杺贡献集体智慧，在此深表感谢，致以崇高敬意．推动读者对该性质的深刻理解，望后来者继往开来，不忘初心，砥砺前行．综上所述，送君千里，终须一别．掌握圆锥曲线中心弦与中点弦性质，挥洒自如，需不断总结．只有与传统方法计算前后对比，方能珍惜其优越．若有不妥之处，敬请谅解，请批评指正．以下为研修经典巩固练习，望同学们且学且珍惜． 往事如梦 1．（2020年湖北高二期末）如图，已知椭圆，斜率为﹣1的直线与椭圆C相交于A，B两点，平行四边形OAMB（O为坐标原点）的对角线OM的斜率为，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 2．（2019年重庆云阳江口中学高二月考）已知椭圆 ，点M，N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使 ，则离心率e的取值范围为 A． B． C． D． 3．（2014浙江）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的离心率是______________． 4．（2019全国II21节选）已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为−．记M的轨迹为曲线C．求C的方程，并说明C是什么曲线． 5．（2017北京）已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过作的