1.3.2 函数的极植与导数（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修2-2【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

1．3.2　函数的极值与导数 1．设函数f(x)在点x0及其附近有定义 (1)如果对x0附近的所有点都有定义，f′(x0)＝0，而且在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)叫做函数的极大值，x0为极大值点． (2)如果对x0附近的所有点都有定义，f′(x0)＝0，而且在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)称为函数的极小值，x0为极小值点． (3)极大值和极小值统称为极值；极大值点和极小值点统称为极值点． 2．求函数f(x)的极值 首先解方程f′(x0)＝0.当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x0)＞0，右侧f′(x0)＜0，那么f(x0)是函数的极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x0)＜0，右侧f′(x0)＞0，那么f(x0)是函数的极小值． 3．几个需要注意的问题 (1)可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点． (2)不可导点可能是极值点，也可能不是极值点． (3)导数为0是极值点：y＝x2，y′(0)＝0，x＝0是极小值点． (4)导数为0但不是极值点：y＝x3，y′(0)＝0，x＝0不是极值点． (5)不可导点是极值点：y＝|sin x|，x＝0不可导，是极小值点． (6)不可导点不是极值点：y＝x，x＝0不可导，不是极值点． 1．对于函数y＝f(x)，其导函数存在，则下列结论中，正确的是(　　) A．导数为零的点一定是极值点 B．如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么，f(x0)是极大值 C．如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么，f(x0)是极小值 D．如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么，f(x0)是极大值 解析：选B.结合函数极值的定义可知． 2．函数f(x)＝x＋在x＞0时有(　　) A．极小值　　　　　　　　 B．极大值 C．既有极大值又有极小值 D．极值不存在 解析：选A.f′(x)＝1－＝0，x＝±1.∵x＞0，∴x＝1. 当0＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0. ∴当x＝1时，函数f(x)取极小值． 3．函数f(x)＝x3－3x2＋7的极大值是(　　) A．－7 B．7 C．3 D．－3 解析：选B.f′(x)＝3x2－6x， 令f′(x)＝0，得x＝0，或x＝2. 当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0； 当x∈(0，2)时，f′(x)＜0； 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0. 所以，当x＝0时，f(x)取极大值f(0)＝7. 4．函数f(x)＝x3＋mx2＋x＋1在R上无极值点，则m的取值范围是________． 解析：∵f′(x)＝3x2＋2mx＋1， f(x)＝x3＋mx2＋x＋1在R上无极值点， ∴f′(x)≥0对x∈R恒成立， ∴Δ＝(2m)2－4×3×1≤0⇒－≤m≤. 答案：[－， ]． 5．设方程x3－3x＝k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是________． 解析：设f(x)＝x3－3x－k，则f′(x)＝3x2－3.令f′(x)＝0得x＝±1，且f(1)＝－2－k，f(－1)＝2－k，又f(x)的图象与x轴有3个交点，故 ∴－2＜k＜2. 答案：(－2，2) 类型一　求函数的极值 例1,►求函数f(x)＝的极值． 【解】　函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)， 由导数公式和求导法则，得f′(x)＝. 令f′(x)＝0，解得x＝e. 下面分两种情况讨论： (1)当f′(x)>0时，0<x<e； (2)当f′(x)<0时，x>e. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (0，e) e (e，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x)   故当x＝e时函数取得极大值，且极大值为f(e)＝. 【点评】　求函数极值是本节重点，也是高考重点，在解题时应注意以下几点： (1)导数不存在的点也有可能是极值点，如f(x)＝|x|，在x＝0处导数不存在，但由图象结合极小值定义知f(x)＝|x|在x＝0处取极小值． (2)在讨论可导函数f(x)在定义域内的极值时，若方程f′(x)＝0的实根较多时，应注意使用表格，使极值点的确定一目了然． (3)在极值点较复杂时，注意分类讨论． 1．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11. (1)写出函数f(x)的递减区间； (2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值． 解：f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)， 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3. x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示： x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞