1.3.3 函数的最大（小）值与导数（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修2-2【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

1．3.3　函数的最大(小)值与导数 1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值： (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数y＝f(x)的各极值与函数区间端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 1．下列结论正确的是(　　) A．在区间[a，b]上，函数的极大值就是最大值 B．在区间[a，b]上，函数的极小值就是最小值 C．在区间[a，b]上，函数的最大值、最小值在x＝a和x＝b时达到 D．一般地，在[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值 解析：选D.A、B、C错误，D正确． 2．函数y＝x4－4x＋3在区间[－2，3]上的最小值为(　　) A．72　　　　　　　　 B．36 C．12 D．0 解析：选D.y′＝4x3－4，令y′＝0，得4x3－4＝0，∴x＝1，当x＜1时，y′＜0；当x＞1时，y′＞0. ∴y极小值＝y|x＝1＝0，而端点的函数值y|x＝－2＝27，y|x＝3＝72，∴ymin＝0. 3．函数f(x)＝－x2＋4x＋1在区间[3，5]上的最大值和最小值分别是(　　) A．f(4)，f(3) B．f(3)，f(5) C．f(4)，f(5) D．f(5)，f(3) 解析：选B.令f′(x)＝－2x＋4＝0，则x＝2，f(x)在[3，5]上是单调函数，排除f(4)，比较f(3)，f(5)，即得． 4．函数f(x)＝x2－(x<0)的最小值是________． 解析：f′(x)＝2x＋，2x＋＝0⇒x＝－3. 当x<－3时，f′(x)<0，当－3<x<0时，f′(x)>0， ∴当x＝－3时，f(x)取得极小值，也为最小值，f(x)min＝27. 答案：27 类型一　求函数的最值 例1,►求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1，3]； (2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0，2π]． 【解】　(1)f(x)＝2x3－12x， ∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)， 令f′(x)＝0解得x＝－或x＝. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－) － (－，) (，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)． 因为f(－1)＝10，f(3)＝18， f()＝－8，f(－)＝8； 所以当x＝时，f(x)取得最小值－8； 当x＝3时，f(x)取得最大值18. (2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，又x∈[0，2π]， 解得x＝π或x＝π. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表： x 0 π π 2π f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 0  极大值 ＋  极小值 π－  π ∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0； 当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π. 【点评】　求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点： (1)对函数进行准确求导； (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值； (3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论． 1．已知函数f(x)＝x3－4x＋4. (1)求函数的极值； (2)求函数在区间[－3，4]上的最大值和最小值． 解：(1)f′(x)＝x2－4，解方程x2－4＝0， 得x1＝－2，x2＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)   －  从上表可看出，当x＝－2时，函数有极大值，且极大值为；而当x＝2时，函数有极小值，且极小值为－. (2)f(－3)＝×(－3)3－4×(－3)＋4＝7， f(4)＝×43－4×4＋4＝， 与极值比较，得函数在区间[－3，4]上的最大值是，最小值是－. 类型二　已知函数的最值求参数 例2,►已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx. (1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值． (2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围． 【解】　(1)∵f(x)＝ax2＋1，∴f′(x)＝2ax， ∴f′(1)＝2a. 又f(1)＝c＝a＋1，∴f(x)在点(1，c)处的