1.4 生活中的优化问题举例（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修2-2【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

1．4　生活中的优化问题举例 1．生活中的优化问题 生活中常遇到利润最大，用料最省，效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． 2．用导数解决优化问题的基本思路 1．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产(　　) A．6千台　　　　　　 B．7千台 C．8千台 D．9千台 解析：选A.设利润为y， 则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2) ＝－2x3＋18x2(x>0)， ∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)，令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点． 2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高为(　　) A．20 cm B．100 cm C．20 cm D． cm 解析：选A.设圆锥的高为h cm， ∴V圆锥＝π(400－h2)×h， ∴V′(h)＝π(400－3h2)．令V′(h)＝0， 得h2＝，∴h＝ cm.故选A. 3．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有(　　) A．f(0)＋f(2)＜2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1) C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)＞2f(1) 解析：选C.(x－1)f′(x)≥0，或 ①函数y＝f(x)在(－∞，1]上单调递减，f(0)＞f(1)；在[1，＋∞)上单调递增，f(2)＞f(1)， ∴f(0)＋f(2)＞2f(1)． ②函数y＝f(x)可为常数函数，f(0)＋f(2)＝2f(1)．故选C项． 4．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价200元，对于多于150件的订购合同，每超过一件，则每件售价比原来减少1元，当公司的销售额最大时订购件数为________． 解析：设销售额为y，依题意知： y＝[来源:学#科#网Z#X#X#K] 由函数性质得x＝175时，y取最大值1752. 答案：175 5．如图所示，某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________，________． 解析：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙壁总长度L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－. 令L′＝0得x＝±16. ∵x>0， ∴x＝16，当x＝16时， Lmin＝L极小值＝64， ∴堆料场的长为＝32(米)． 答案：32米　16米 类型一　用料最省问题 例1,►统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：y＝x3－x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米． (1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 【解】　(1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5小时， 要耗油×2.5＝17.5(升)， 即从甲地到乙地耗油17.5升． (2)当速度为x千米/小时时，从甲地到乙地耗油最少，则汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)＝· ＝x2＋－(0<x≤120)． h′(x)＝－＝(0<x≤120)． 令h′(x)＝0，得x＝80. 当x∈(0，80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数； 当x∈(80，120]时，h′(x)>0，h(x)是增函数． 故当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25.因为h(x)在(0，120]上只有一个极小值，所以它是最小值．即以80千米/小时的速度匀速行驶时，耗油最少，为11.25升． 【点评】　用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答． 1．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ (注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝) 解：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元， 则f(x)＝(560＋48x)＋＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)[来源:Z#xx#k.Com] f′(x)＝48－. 令f′(x)＝0，得x＝15.[来源:学科网] 当x>15时，f′(x)>0；当10≤x