1.5 定积分的概念（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修2-2【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

1．5　定积分的概念 1．5.1　曲边梯形的面积 1．5.2　汽车行驶的路程 1．5.3　定积分的概念 1．连续函数 一般地，如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I上的连续函数． 2．求曲边梯形面积的步骤 一般地，对曲边梯形，可采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出其面积． 3．定积分的定义及相关概念 如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)，作和式f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝limf(ξi)，这里a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式． 4．定积分的性质 (1)kf(x)dx＝kf(x)dx； (2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx； (3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a<c<b)． 1．当n的值很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值，可以用下列函数值近似代替的是(　　) A．f　　　　　　　 B．f C．f D．f(0) 解析：选C.只要是区间内的值，都可以近似代替，选支中，只有是相应每个区间内的值，故应选C. 2．设f(x)＝，则f(x)dx的值为(　　) A.2xdx B．2xdx C.2xdx＋2xdx D．2xdx＋2xdx 解析：选D.f(x)dx＝2xdx＋2xdx，故选D. 3．s＝lim(ξi)Δt，求做匀速(速度为v)直线运动的物体在[0，6]这段时间内，物体所运动的路程s等于(　　) A．3v B．6v C．9v D．12v 解析：选B.根据定积分的几何意义，物体运动的路程s等于如图所示矩形的面积，∴s＝6v. 4．求由拋物线y＝2x2与直线x＝0，x＝t(t>0)，y＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，则第i－1个区间为(　　) A. B． C. D． 解析：选D.在[0，t]上等间隔插入(n－1)个分点，把区间[0，t]等分成n个小区间，每个小区间的长度均为，故第i－1个区间为，故选D. 5．由y＝cos x，x＝0，x＝，y＝0所围成的图形的面积表示为定积分的形式是________． 解析：由定积分的定义和几何意义可知S＝∫0cos xdx. 答案：∫0cos xdx 类型一　曲边梯形的面积 例1,►求由直线x＝0，x＝1，y＝0与曲线y＝x2＋2x＋1围成的曲边梯形的面积． 【解】　将区间[0，1]等分成n个小区间，则第i个小区间为，第i个小区间的面积为 ΔSi＝f·＝·， 所以Sn＝· ＝(12＋22＋32＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)＋1 ＝·＋·＋1 ＝＋＋2， S＝limSn＝lim ＝，所以所求的曲边梯形的面积为.[来源:Z*xx*k.Com] 【点评】　求曲边梯形面积四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限，关键环节是求和．体现的基本思想就是先分后合，化曲为直，通过取极限，形成整体图形的面积． 1．已知汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋2t(单位：km/h)，求它在1≤t≤2这段时间行驶的路程是多少？ 解：将时间区间[1，2]等分成n个小区间，则第i个小区间为，在第i个时间段的路程近似为Δsi＝vΔt＝·，i＝1，2，…，n. 所以sn＝· ＝－[(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n] ＝－＋ · ＝－＋＋3＋， s＝limsn＝lim ＝， 所以这段时间行驶的路程为km. 类型二　定积分的几何意义 例2,►用定积分的意义求下列各式的值： (1)(3x＋1)dx；(2)∫－ dx. 【解】　(1)由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示： (3x＋1)dx表示由直线x＝－1， x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积， ∴(3x＋1)dx ＝××(3×3＋1)－·2 ＝－＝16. (2)由y＝可知，x2＋y2＝1，(y≥0)图象如图，由定积分的几何意义知∫－dx等于圆心角为120°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和． S弓形＝×π×12－×1×1×sinπ＝－， S矩形＝|AB|·|BC|＝2××＝， ∴∫－dx＝－＋＝＋. 【点评】　(1)正确画出图形是求解的关键． (2)当平面图形有部分或全部在x轴下方时，要注意定积分的正确表示． 2