1.7 定积分的简单应用（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修2-2【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

1．7　定积分的简单应用 1．7.1　定积分在几何中的应用 1．7.2　定积分在物理中的应用 1．由三条直线x＝a、x＝b(a<b)、x轴，一条曲线y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯形的面积S＝f(x)dx(如图1)． 2．由三条直线x＝a、x＝b(a<b)、x轴，一条曲线y＝f(x)(f(x)≤0)围成的曲边梯形的面积S＝|f(x)dx|＝－f(x)dx(如图2)． 3．由两条直线x＝a、x＝b(a<b)、两条曲线y＝f(x)、y＝g(x)(f(x)≥g(x))围成的平面图形的面积S＝ [f(x)－g(x)]dx(如图3)． 4．由三条直线x＝a、x＝b(a<b)、x轴，一条曲线y＝f(x)围成的平面图形的面积S＝f(x)dx－f(x)dx(如图4)． 5．变速直线运动的路程与定积分的关系：作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即S＝v(t)dt． 6．变力所作的功与定积分的关系：如果物体沿着与变力F(x)相同的方向移动，那么从位置x＝a到x＝b变力所作的功W＝F(x)dx． 1．如果1 N能拉弹簧1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，所耗费的功为(　　) A．0.18 J　　　　　　　 B．0.26 J C．0.12 J D．0.28 J 解析：选A.设F(x)＝kx，当F＝1 N时，x＝0.01 m， ∴k＝100， ∴W＝100xdx＝50x2|＝0.18 J. 2．曲线y＝x2＋2x与直线x＝－1，x＝1及x轴所围成图形的面积为(　　) A．2 B． C. D． 解析：选A.S＝－(x2＋2x)dx＋(x2＋2x)dx ＝－|＋|＝＋＝2. 3．如图所示阴影部分面积为(　　) A．2 B．9－2 C. D． 解析：选C.阴影部分面积为S＝(3－x2－2x)dx ＝|＝. 4．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成图形的面积为________． 解析：S＝×2×2－×1×1－dx＝－ln 2. 答案：－ln 2 5．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)＝27－0.9t(单位：米/秒)，则列车刹车后前进________米才能停车？ 解析：停车时v(t)＝0，则27－0.9t＝0， ∴t＝30 s，S＝v(t)dt＝(27－0.9t)dt＝(27t－0.45t2)|＝405. 答案：405 类型一　不分割型图形的面积 例1,►如图所示，求曲线y＝x2与直线y＝2x所围图形的面积S. 【解】　由方程组可得x1＝0，x2＝2.故所求图形面积为S＝2xdx－x2dx＝x2|－x3|＝. 【点评】　不分割型图形面积的求解步骤： (1)准确求出曲线的交点横坐标； (2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域； (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分； (4)计算得所求面积． 1．曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________． 解析：先画出图形，再利用定积分的几何意义求面积． 如图，阴影部分的面积即为所求． 由得A(1，1)． 故所求面积为S＝(x－x2)dx＝|＝. 答案： 类型二　分割型图形的面积 例2,►求曲线y2＝2x与直线y＝x－4所围成图形的面积． 【解】　方法一：解方程组 得交点A(8，4)，B(2，－2)． 所以所求面积为S＝2dx＋[－(x－4)]dx ＝2xdx＋(·x－x＋4)dx ＝2·|＋| ＝2··2＋ －＝＋－＝－6＝18. 方法二：解方程组得交点A(8，4)，B(2，－2)．所求面积为 S＝dy＝| ＝－＝18. 【点评】　由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上下限． 2．求由抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积． 解：由题意，作出图形(如图)，并解方程组 得x＝2. 所以y2＝8x与直线x＋y－6＝0的交点坐标为(2，4)，所以所求面积为： S＝dx＋(6－x)dx ＝×x|＋| ＝＋ ＝＋8＝. 类型三　变速直线运动的位移 例3,►有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求 (1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移； (2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值． 【解】　(1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4， 即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动， 当t>4时，P点向x轴负方向运动． 故t＝6时，点P离开原点