知识整合与章末检测（一）（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修2-2【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

知识整合与章末检测（一） 突破一　导数的几何意义 　利用导数求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程时，应注意： (1)判断点P(x0，y0)是否在曲线y＝f(x)上； (2)①若点P(x0，y0)为切点，则曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率为f′(x0)，切线的方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． ②若点P(x0，y0)不是切点，则设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得 y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)① 又y1＝f(x1)② 由①②求出x1，y1的值， 即求出了过点P(x0，y0)的切线方程． 例1,►求曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4在点(1，－4)处的切线方程． 【解】　检验知点(1，－4)是曲线C上一点， f′(x)＝12x3－6x2－18x，f′(1)＝－12. ∴切线方程为y＋4＝－12(x－1)． 即y＝－12x＋8. 例2,►对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和为________． 【解】　y′＝nxn－1－(n＋1)xn， 曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线的斜率为 k＝n·2n－1－(n＋1)2n. 又因为切点为(2，－2n)，所以切线方程为y＋2n＝k(x－2)． 令x＝0，得an＝(n＋1)2n， 令bn＝＝2n，∴{bn}是等比数列，b1＝q＝2. 数列的前n项和为[来源:Z。xx。k.Com] 2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2. 【答案】　2n＋1－2 突破二　利用导数确定函数的单调区间 　应用导数求函数的单调区间的步骤： (1)求导数f′(x)； (2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； (3)确定并指出函数的单调增区间、减区间． 特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连结． 例3,►已知实数a>0，函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)的极大值为32，求函数f(x)的单调区间． 【解】　f(x)＝ax3－4ax2＋4ax， f′(x)＝3ax2－8ax＋4a， 令f′(x)＝0得3ax2－8ax＋4a＝0， ∵a＝/ 0，∴3x2－8x＋4＝0，∴x＝或x＝2. ∵a>0，∴当x∈或x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0， ∴函数f(x)的单调递增区间为和[2，＋∞)； 当x∈时，f′(x)<0， ∴函数f(x)的单调递减区间为. 突破三　利用导数，求函数的极值和最值 1,.应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号． 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点． 2．,求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f(x)在(a，b)内的极值； (2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值． 特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)． 例4,►已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex在[0，1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0. (1)求a的取值范围； (2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0，1]上的最大值和最小值． 【解】　(1)由f(0)＝1，f(1)＝0，得c＝1，a＋b＝－1，则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]ex， 依题意需对任意x∈(0，1)，有f′(x)＜0. 当a＞0时，因为二次函数y＝ax2＋(a－1)x－a的图象开口向上，而f′(0)＝－a＜0，所以需f′(1)＝(a－1)e＜0，即0＜a＜1. 当a＝1时，对任意x∈(0，1)有f′(x)＝(x2－1)ex＜0，f(x)符合条件； 当a＝0时，对任意x∈(0，1)，f′(x)＝－xex＜0，f(x)符合条件； 当a＜0时，因为f′(0)＝－a＞0，f(x)不符合条件． 故a的取值范围为0≤a≤1. (2)因为g(x)＝(－2ax＋1＋a)ex，所以g′(x)＝(－2ax＋1－a)ex. (ⅰ)当a＝0时，g′(x)＝ex＞0，g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1，在x＝1处取得最大值g(1)＝e. (ⅱ)当a＝1时，对于任意x∈(0，1)有g′(x)＝－2xex＜0，g(x)在