2.2.1 综合法和分析法（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修2-2【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

2．2　直接证明与间接证明 2．2.1　综合法和分析法 1．,综合法： 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法，对于命题“若P则Q”的综合法证明可用框图表示为： ―→―→―→…―→ 2．,分析法： 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明的方法叫做分析法． 用框图表示为： →→→…→ 1．,综合法是(　　) A．执果索因的逆推法 B．由因导果的顺推法 C．因果分别互推的两头凑法 D．原命题的证明方法 解析：选B.综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，即由因导果的顺推法． 2．,分析法是(　　) A．执果索因的逆推法 B．由因导果的顺推法 C．因果分别互推的两头凑法 D．逆命题的证明方法 解析：选A.分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，即执果索因的逆推法． 3．,要证明＋＜＋(a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是(　　) A．综合法　　　　　　 B．类比法 C．分析法 D．归纳法 解析：选C.分析法最合理，现证明如下：要使＋＜＋成立，只需a＋2＋a＋7＜a＋3＋2＋a＋4，即＜只需a2＋7a＜a2＋7a＋12， 只需0＜12，显然成立， ∴＋＜＋. 4．,设a＝，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小关系为________． 解析：∵b＝，c＝，显然b＜c， 而a2＝2，而c2＝(－)2＝8－2＝8－＜8－＝2＝a2， ∴a＞c，∴a＞c＞b. 答案：a＞c＞b 5．,若函数f(x)＝log2(x＋1)，且c>b>a>0，则、、的大小关系是________． 解析：作出函数f(x)＝log2(x＋1)的图象如图所示，、、可看作三点与原点的连线的斜率．由图知，>>. 答案：>> 类型一　综合法 例1,►在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形． 【证明】　由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C.① 因为A、B、C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π.② 由①②，得B＝.③ 由a、b、c成等比数列，有b2＝ac.④ 由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accos B[来源:学+科+网Z+X+X+K] ＝a2＋c2－ac. 再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，因此a＝c，从而有A＝C.⑤ 由②③⑤，得A＝B＝C＝，所以△ABC为等边三角形． 【点评】　综合法证明问题的步骤 第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法． 第二步：转化条件，组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路． 第三步：适当调整，回顾反思，解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取． 1．,已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4. 证明：方法一： ∵a，b是正数且a＋b＝1， ∴a＋b≥2，∴≤， ∴＋＝＝≥4. 方法二：∵a，b是正数， ∴a＋b≥2＞0，＋≥2＞0， ∴(a＋b)≥4. 又a＋b＝1，∴＋≥4. 方法三：＋＝＋＝1＋＋＋1 ≥2＋2＝4. 当且仅当a＝b时，取“＝”号． 类型二　分析法 例2,►已知a>0，求证： －≥a＋－2. 【证明】　要证－≥a＋－2， 只需证 ＋2≥a＋＋. ∵a＞0，故只需证 ≥， 即a2＋＋4 ＋4≥a2＋2＋＋2 ＋2，从而只要证2 ≥ ， 只要证4≥2， 即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立． 【点评】　(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质．已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论； (2)分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式； (3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 2．,已知a、b、c为正实数，且a＋b＋c＝1， 求证：≥8. 证明：要证≥8成立．只需证··≥8成立． 因为a＋b＋c＝1，所以只需证··≥8成立，即··≥8.只需证··≥··≥8成立．而··≥8显然成立， ∴≥8成立． 类型三　分析法与综合法 例3,►已知a、b、c是不全相等的正数，且0＜x＜1.求证：logx＋logx＋logx＜logxa＋logxb＋logxc. 【证明】　要证明： logx＋logx＋logx＜logxa