2.2.2 反证法（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修2-2【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

2．2.2　反证法 1．,反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．[来源:Z,xx,k.Com] 2．,反证法证题的关键：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等． 3．,用反证法证题一般分为三个步骤： (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．即提出假设—推出矛盾—肯定结论． 1．,反证法是(　　) A．从结论的反面出发，推出矛盾的证法 B．对其否命题的证明 C．对其逆命题的证明 D．分析法的证明方法 解析：选A.根据反证法的定义可知A正确． 2．,实数a，b，c满足a＋2b＋c＝2，则(　　) A．a，b，c都是正数 B．a，b，c都大于1 C．a，b，c都小于2 D．a，b，c至少有一个不小于 解析：选D.假设a、b、c均小于，则a＋2b＋c＜＋1＋＝2，与已知矛盾． 3．,实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，则正确的说法是(　　) A．a，b，c都是0　　　　　 B．a，b，c都不为0 C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c不可能均为正数 解析：选D.假设a，b，c均为正数，即a＞0，b＞0，c＞0，则a＋b＋c＞0与已知矛盾，故应选D. 4．,否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设是____． 解析：否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，应从两方面否定，其一都是奇数，其二至少有两个偶数 答案：a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数． 5．,用反证法证明如果ab＝0，那么a＝0或b＝0，假设的内容应是________． 解析：a＝0或b＝0的反设为a≠0且b≠0. 答案：a≠0且b≠0 类型一　否定性命题的证明 例1,►设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列． 【证明】　假设{cn}是等比数列． 则当n≥2时，(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)·(an＋1＋bn＋1) ∴a＋2anbn＋b ＝an－1an＋1＋an－1bn＋1＋bn－1an＋1＋bn－1bn＋1. 设{an}，{bn}的公比分别为p，q(p≠q)． ∵a＝an－1·an＋1，b＝bn－1·bn＋1， ∴2anbn＝an－1bn＋1＋bn－1an＋1＝·bn·q＋·an·p， ∴2＝＋. 当p≠q时，＋>2或＋≤－2与＋＝2矛盾．∴{cn}不是等比数列． 【点评】　反证法证明问题的一般步骤： 1．,已知a，b，c∈(0，1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于. 证明：证法1：假设(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于. ∵a、b、c都是小于1的正数，∴1－a、1－b、1－c都是正数.≥ ＞ ＝. 同理＞，＞. 三式相加，得 ＋＋＞， 即＞，矛盾． 所以(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能都大于. 证法2：假设三个式子同时大于，即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，三式相乘得(1－a)b(1－b)c(1－c)a>① 因为0<a<1，所以0<a(1－a)≤＝. 同理，0<b(1－b)≤，0<c(1－c)≤. 所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤.② 因为①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立． 类型二　唯一性命题的证明 例2,►已知：一点A和平面α. 求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直． 【证明】　根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．(1)如图1，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB、AC，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a. 因为AB⊥平面α，AC⊥平面α， a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾． (2)如图2，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB和AC(B、C为垂足)，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α. 所以AB⊥BC，AC⊥BC. 在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾． 综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线． 【点评】　证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就