2.3 数学归纳法（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修2-2【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

2．3　数学归纳法 1．,数学归纳法的证题步骤 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立． (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．[来源:学科网] 上述证明方法叫做数学归纳法． 2．,用框图表示数学归纳法的步骤 1．,用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的项是(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 解析：选D.当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4. 2．,在数列{an}中，an＝1－＋－＋…＋－，则ak＋1＝(　　) A．ak＋ B．ak＋－ C．ak＋ D．ak＋－ 解析：选D.a1＝1－，a2＝1－＋－，…， an＝1－＋－＋…＋－， ak＝1－＋－＋…＋－， 所以，ak＋1＝ak＋－. 3．,用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　) A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确 B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确 C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确 D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*) 解析：选B.因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确． 4．,用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝，则n＝k＋1时，左端在n＝k时的左端加上________． 解析：n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 5．,观察下列不等式：1>，1＋＋>1，1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2，1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N*)． 答案：1＋＋＋…＋> [来源:Z*xx*k.Com] 类型一　证明恒等式 例1,►证明：12＋22＋32＋…＋n2＝(n＋1)(2n＋1)． 【证明】　(1)n＝1时，左式＝12＝1， 右式＝×(1＋1)(2×1＋1)＝1， ∴等式成立． (2)设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立． 即12＋22＋…＋k2＝(k＋1)(2k＋1)． 则n＝k＋1时， 12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2 ＝(k＋1)[k(2k＋1)＋6(k＋1)] ＝(k＋1)(2k2＋7k＋6) ＝(k＋1)(k＋2)(2k＋3) ＝[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋1]． 即n＝k＋1时，等式成立． 由(1)(2)知，等式对任意n∈N*成立． 【点评】　“假设n＝k(k≥1)时命题成立，利用这一假设证明n＝k＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设，否则这样的证明就不再是数学归纳法了．另外在推导过程中要把步骤写完整，注意证明过程中的严谨性、规范性． 1．,求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)． 证明：①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立． ②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2. 当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立． 由①②得，等式对任何n∈N*都成立．[来源:学科网] 类型二　证明不等式 例2,►用数学归纳法证明 ＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N*)． 【证明】　(1)当n＝2时，左边＝＝，右边＝1－＝.明显<，所以不等式成立． (2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时， 不等式成立， 即＋＋＋…＋<1－， 则当n＝k＋1时， ＋＋＋…＋＋<1－＋ ＝1－ ＝1－<1－＝1－. 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立． 【点评】　1,.在由假设n＝k成立，证明n＝k＋1成立时，左边进行了什么运算，右边同样也进行此运算，例如左边增加了一项，则右边也增加此项，根据不等式的性质，不等号方向不变． 2．,右边(当n＝k＋1时，不等式右边的式子)推理前应先明确“证明方向”，此例右边的“证明方向