知识整合与章末检测（二）（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修2-2【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

知识整合与章末检测（二） 突破一　归纳推理 　所谓归纳，是指通过对特例的观察和综合去发现一般规律．归纳过程的典型步骤是：先是诸多特例中发现某些相似性，再把相似性推广为一个表述明确的一般命题，最后对该命题进行检验或论证．归纳是发现和认识规律的重要手段． 例1,►将2n按如表所示的规律填在5列的数表中，设22 018排在数表的第n行，第m列，则第m列中的前n个数的和Sn＝________． 21 22 23 24 28 27 26 25 29 210 211 212 216 215 214 213 … … … … … 【解析】　由于2 018＝4×504＋2，故22 018位于表格的第505行第3列，所以n＝505，m＝3.所以Sn＝＝. 【答案】　 例2,►某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°； ②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°； ③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°； ④sin2(－18°)＋cos248°－sin2(－18°)cos248°； ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin2(－25°)cos255°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 【解】　方法一：(1)选择②式，计算如下： sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30° ＝1－＝. (2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝. 证明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin30°sin α) ＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α ＝sin2α＋cos2α ＝. 方法二：(1)同方法一． (2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝. 证明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α ＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α) ＝1－cos 2α－＋cos 2α＝. 突破二　类比推理 　由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．类比推理是由特殊到特殊的推理． 1．,类比是以旧知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能． 2．,类比推理的常见情形有：平面与空间类比；向量与数类比；不等与相等类比等． 例3,►在Rt△ABC中 ，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝，把上述结论类比到空间，写出相似的结论． 【解】　取空间中三条侧棱两两垂直的四面体A－BCD且AB＝a，AC＝b，AD＝c，则此四面体的外接球的半径为R＝. 例4,►已知两个圆：x2＋y2＝1①与x2＋(y－3)2＝1②，则由①式减去②式可得两圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为推广命题的一个特例．则推广的命题是什么？ 【解】　本题是由圆(特殊的)到圆(一般的)之间的类比，也就是数学研究中的一般化方法，即从特例中抽象出共同的特性．本题的关键之处是两圆半径必须相等，即将圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2①与(x－c)2＋(y－d)2＝r2②(a≠c或b≠d)相减，可得它们的对称轴方程为2(c－a)x＋2(d－b)y＋a2＋b2－c2－d2＝0. 例5,►已知点O是△ABC内任意一点，连结AO、BO、CO并延长交对边于A′、B′、C′则＋＋＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”：＋＋＝＋＋＝＝1，那么在空间四面体ABCD中存在怎样的结论？并证明． 【解】　在四面体A－BCD内，任取一点O，连结AO、BO、CO、DO，并延 长交对面于A′、B′、C′、D′， 则有＋＋＋＝1. 在四面体O－BCD与A－BCD中， ＝， 同理有＝，＝，＝， ∴＋＋＋ ＝＋＋＋ ＝＝1， 即＋＋＋＝1. 突破三　直接证明 　综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截