3.1.2 复数的几何意义（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修2-2【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

3．1.2　复数的几何意义 1．,复平面 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．,复数的几何意义 (1)复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义． (2)复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的，即复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应平面向量，这是复数的另一种几何意义． 3．,复数的模 向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，由模的定义可知r＝|z|＝|a＋bi|＝(r≥0，r∈R)． 复数的模|z|从几何意义上理解，表示点Z到原点的距离． 1．,如果复平面上的向量a的坐标为(x，y)，则它对应的复数是(　　) A．x＋yi　　　　　　 B．y＋xi C．x＋yi或y＋xi D．x＋yi或x－yi 解析：选A.向量a＝(x，y)．它对应的复数为x＋yi. 2．,设复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在虚轴的右侧，则(　　) A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．b＞0，a∈R D．a＞0，b∈R 解析：选D.点在虚轴的右侧，则实部a＞0，b∈R. 3．,复数z＝1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为(　　) A．2cos B．－2cos C．2sin D．－2sin 解析：选B.|z|＝＝ ＝＝， 又∵π＜α＜2π，＜＜π， ∴cos＜0， ∴|z|＝－2cos. 4．,复数z＝－2＋6i在复平面内对应点的坐标为________． 解析：复数z＝－2＋6i在复平面内对应点的坐标为(－2，6)． 答案：(－2，6) 5．,若z＋|z|＝2，则复数z＝________． 解析：设z＝x＋yi，(x，y∈R)， 则x＋yi＋＝2， ∴解得 ∴z＝1. 答案：1 类型一　复数的几何意义 例1,►在复平面上，复数i，1，4＋2i的对应的点分别是A，B，C.求平行四边形ABCD的D点所对应的复数． 【解】　方法一：由已知A(0，1)，B(1，0)，C(4，2)， 则AC的中点E， 由平行四边形的性质知E也是BD的中点， 设D(x，y)， 则， ∴， 即D(3，3)， ∴D点对应复数为3＋3i. 方法二：由已知：＝(0，1)，＝(1，0)，＝(4，2)． ∴＝(－1，1)，＝(3，2)， ∴＝＋＝(2，3)， ∴＝＋＝(3，3)， 即点D对应复数为3＋3i. 【点评】　复数的几何意义包含两种情况： 1．复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题． 2．复数与复平面内向量的对应：复数的实、虚部是对应向量的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题． 1．,在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的对应点， (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线y＝x上． 试分别求实数m的取值范围． 解：复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2. (1)由题意，得m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1. (2)由题意，得∴ ∴－1＜m＜1，即m∈(－1，1)． (3)由已知，得m2－m－2＝m2－3m＋2，∴m＝2.[来源:Z#xx#k.Com] 类型二　复数的模 例2,►求复数z1＝3＋4i及z2＝－－i的模，并比较它们的模的大小． 【解】　|z1|＝＝5， |z2|＝＝，[来源:Z*xx*k.Com] ∵5＞，∴|z1|＞|z2|. 【点评】　复数z＝a＋bi的模即向量的模，又＝(a，b)，所以|z|＝||＝，复数一般不能比较大小，但复数的模可以比较大小． 2．,已知z1＝x2＋ i，z2＝(x2＋a)i对任意的x∈R均有|z1|＞|z2|成立，试求实数a的取值范围． 解：∵|z1|＝ ，|z2|＝|x2＋a|，且 |z1|＞|z2|， ∴ ＞|x2＋a|对x∈R恒成立，等价于(1－2a)x2＋(1－a2)＞0恒成立． 不等式等价于①：解得a＝， ∴a＝时，0·x2＋＞0恒成立． 或②： 解得－1＜a＜ ∴a∈. 综上，可得实数a的取值范围是{a|a∈R，且－1＜a≤}． 类型三　复数模的意义 例3,►已知复数z＝3＋ai，且|z|＜4，求实数a的取值范围． 【解】　方法一：∵z＝3＋ai(a∈R)， ∴|z|＝， 由已知得32＋a2＜42， ∴a2＜7，∴a∈(－，)． 方法二：利用复数的几何意义，由|z|＜4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)， 由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上， 所