第三章 复数的几何意义-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修2-2同步资源（人教A版）

高中数学 选修2-2 数系的扩充和复数的引入 测试内容：数系的扩充和复数的概念 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 知识点总结 1．复平面的相关概念 如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即 复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)． 2．复数的向量表示 如图，在复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量是由点Z唯一确定的；反过来，点Z(相应与原点来说)也可以由向量唯一确定． 复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即 复数z＝a＋bi平面向量. 这是复数的另一种几何意义，并且规定相等的向量表示同一个复数． 3．向量的模的定义公式 向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值)．由模的定义可知：|z|＝|a＋bi| ＝r＝(r≥0，r∈R)． 4.复数的向量表示 (1)任何一个复数z＝a＋bi与复平面内一点Z(a，b)对应，而任一点Z(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量对应，这些对应都是一一对应，即 (2)这种对应关系架起了联系复数与解析几何的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．讨论复数的运算性质和应用时，可以在复平面内，用向量方法进行． 题型一：复平面内复数与点的对应 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．(　　) (2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．(　　) (3)复数的模一定是正实数．(　　) 2．做一做 (1)若＝(0，－3)，则对应的复数为________． (2)复数z＝1－4i位于复平面上的第________象限． (3)复数i的模是________． 3.在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围． 4.实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i. (1)对应的点在x轴上方； (2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上． 题型二：复平面内复数与向量的对应 5.已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)表示的复数；(2)表示的复数；(3)点B对应的复数． 6.(1)复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________； (2)在复平面内，O为原点，向量对应复数为－1＋2i，点A关于直线y＝－x对称点为B，则向量对应复数为________． 题型三：复数模的综合应用 7.(1)复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹方程是________； (2)设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？ 8.(1)已知复数z＝3＋ai，且|z|<5，则实数a的取值范围________； (2)设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？ ①1<|z|<2；②|z－i|<1. 综合小测试 1．已知a∈R，且0<a<1，i为虚数单位，则复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则(　　) A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1 C．a＝0 D．a＝2或a＝0 3．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________. 4．已知复数z＝x－2＋yi(x，y∈R)的模是2，则点(x，y)的轨迹方程是________． 5．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围． 巩固小练 1．复数i（1+i）的虚部为（　　） A． B．1 C．0 D． 2．复数，其中为虚数单位，则的实部是（　　） A．-1 B．1 C．2 D．3 3．已知复数，则复数（ ） A． B． C． D． 4．复数z满足，则复数（　　） A． B． C． D． 5．若复数是纯虚数，其中是实数，则（ ） A． B． C． D． 6．在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则复数可取（ ） A．2