突破1.4 三角函数的图像与性质-【突破满分数学】高一数学重难点突破（人教A版必修4）

突破1.4 三角函数的图像与性质 一、考情分析 二、经验分享 【知识点1 正弦曲线、余弦曲线】 1.定义：正弦函数 和余弦函数 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。 2.图象 【知识点2 正弦函数、余弦函数的图象和性质】 函数 正弦函数y＝sinx 余弦函数y=cosx 定义域 R R 值域 [-1，1] [-1，1] 奇偶性 奇函数 偶函数 周期性 最小正周期 最小正周期 单调区间 k∈Z 增区间 减区间 增区间 减区间 最值点 k∈Z 最大值点 最小值点 最大值点 最小值点 对称中心 k∈Z 对称轴 k∈Z 【知识点3 正弦型函数和余弦型复合函数的性质】 函数 与函数 可看作是由正弦函数 ，余弦函数 复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数 ，余弦函数 类似地得到： （1） 定义域： ； （2）值域： ； （3）单调区间 求形如 与函数 的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把 视为一个“整体”，分别与正弦函数 ，余弦函数 的单调递增（减）区间对应解出 ，即为所求的单调递增（减）区间． 比如：由 解出 的范围所得区间即为增区间， 由 解出 的范围，所得区间即为减区间． （4） 奇偶性 正弦型函数 和余弦型函数 不一定具备奇偶性． ①对于函数 ，当 时为奇函数，当 时为偶函数； ②对于函数 ，当 时为偶函数，当 时为奇函数． （5） 周期 函数 及函数 的周期与解析式中自变量 的系数有关，其周期为 ． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数 比较可知，当 时，函数 取得最大值（或最小值），因此函数 的对称轴由 解出，其对称中心的横坐标 ，即对称中心为 ． 同理， 的对称轴由 解出，对称中心的横坐标由 解出． 【知识点4 正切函数的图象】 正切函数 ，且 的图象，称“正切曲线” 1．定义域： ， 2．值域：R 由正切函数的图象可知，当 且无限接近于 时， 无限增大，记作 （ 趋向于正无穷大）；当 ， 无限减小，记作 （ 趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此 可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线 为正切函数的渐进线． 3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 4．奇偶性：正切函数是奇函数，即 ． 【知识点5 正切型复合函数的性质】 1．定义域：将“ ”视为一个“整体”．令 解得 ． 2. 值域： 3．单调区间：（1）把“ ”视为一个“整体”；（2） 时，函数单调性与 的相同（反）；（3）解不等式，得出 范围． 特别注意：若 ，一般先用诱导公式化为 ，使 的系数为正值，然后求单调区间． 4．奇偶性：当 时为奇函数，否则，不具备奇偶性． 5．周期：最小正周期为 ． 三、题型分析 (一) 求正弦函数 余弦函数以及正切函数的定义域 例1．（2019·浙江高一期中）函数的定义域是（　　） A. B. C. D. 例2．（2019秋•安福县校级期中）函数 的定义域为　 　． 【变式训练1】．（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）函数的定义域为___________________ 【变式训练2】．（2018·福建高一月考）函数的定义域为（ ） A.B. C.D. (二) 求正弦函数 余弦函数以及正切函数的值域 例3．（2019·黑龙江鹤岗一中高一期末（文））在上，满足的的取值范围是(　　) A． B． C． D． 例4．设为常数，且，则函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【变式训练1】．（2019·宁夏高一期末）函数的最大值为，最小值为，则的最小正周期为______. 【变式训练2】．（2018·北京高一期末）已知函数 若点在角的终边上，求：和的值； 若，求的值域． 【变式训练3】．（2019·济南市历城第二中学高一期中）已知函数. (1)求函数得单调增区间； (2)求函数在区间的最值. (三) 求正弦函数 余弦函数以及正切函数的单调性 例5．函数的单调递增区间是______. 例6.（2019·浙江高一期末）函数的最小正周期为_____；单调递增区间为_______． 【变式训练1】．（2018·浙江高一期中）函数的定义域为_______，值域为_______. 【变式训练2】．（2019·宁夏高一期末）函数的单调减区间为（ ） A．B． C．D． 【变式训练3】．若函数的最大值为，最小值为． （1）求，的值； （2）求函数取得最大值时的的值； （3）请写出函数的图象的对称轴． (四) 五点法画函数图像 例7.（2018·内蒙古一机一中高一月考（理））已知函数 （1）用五点法作出函数的简图； （2）写出函数的值域与单调区间. 【变式训练1】．已知函数．