突破2.1及2.2 平面向量的实际背景及基本概念-【突破满分数学】高一数学重难点突破（人教A版必修4）

突破2.1及2.2 平面向量的基本概念与线性运算 一、考情分析 二、考情分析 知识点1　平面向量的线性运算 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 (1)结合律：λ(μ a)＝λμ a＝μ(λa)； (2)第一分配律： (λ＋μ)a＝λa＋μ a； (3)第二分配律： λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点2　共线向量定理、平面向量基本定理及应用 1．向量共线的判定定理和性质定理 (1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ使得b＝λa，则向量b与a共线． (2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. (3)A，B，C是平面上三点并且在同一条直线上，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得________(如图所示)． 三、题型分析 (一) 关于平面向量的概念及其特殊向量的概念（零向量与单位向量） 例1．给出下列四个命题： ①若 ，则； ②若A，B，C，D是不共线的四点，则“ ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件； ③若，，则； ④的充要条件是且. 其中正确命题的序号是(　　) A．②③ B．①② C．③④ D．②④ 【变式训练1】下列说法正确的是（ ） A．就是所在的直线平行于所在的直线 B．长度相等的向量叫做相等向量 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在一条直线上的向量 【变式训练2】下列说法正确的个数是（ ） ①两个有公共终点的向量是平行向量； ②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点； ③向量与不共线，则与都是非零向量； ④若，，则. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练3】下列说法正确的是（ ） A．与向量共线的单位向量只有 B．向量与平行，则与的方向相同或相反 C．向量与向量是两平行向量 D．单位向量都相等 (二) 平行向量与共线向量 例2．梯形中，，，、分别是和的中点，设，，则______. 【变式训练1】．已知不共线的非零向量，若与平行，则实数的值为__________． 【变式训练2】．已知，，若，，且AD与BC交于E点，则=___________.(用、表示) 【变式训练3】．【2015·天津，14，中】在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且的最小值为________．·，则＝，＝λ 例3．已知平行四边形中，若是该平面上任意一点，则满足（）. （1）若是的中点，求的值； （2）若、、三点共线，求证：. 【变式训练1】．已知，不共线，若，试确定的值． 【变式训练2】．已知、是两个不平行的向量，，，，试判断、、的位置关系，并证明你的结论. (三) 向量的线性运算（三角形法则与平行四边行法则） 例4．（2019·湖北高三月考（文））在中，是的中点，则( ) A． B． C． D． 【变式训练1】．如图，在中，分别是边上的中线，G是它们的交点，则下列等式中不正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】．已知分别是的边的中点，且 给出下列等式： ①②③④ 其中正确的等式是______（请将正确等式的序号填在横线上）．（6分） (四) 向量的数乘与几何意义 例5．若，且，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】．若O是所在平面内一点，D为边的中点，且，那么（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】．如图所示，点是正六边形的中心，则（　　） A． B． C． D． 四、迁移应用 1．给出下列说法：①和的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量就是有向线段；④；⑤.其中正确说法的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2019·上海市七宝中学高二月考）任意四边形ABCD内有一点O满足，则O点的位置是（ ） A．对角线的交点 B．对边中点连线的交点 C．BD的点 D．AC的中点 3.（2018·全国高考真题（理））在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ） A． B． C． D． 4.（2019·广东高三学业考试）如图，中，，，用表示，正确的是( ) A． B． C． D． 5．（2018·全国高考真题（理））已知向量满足，，