突破2.3及2.4 平面向量的坐标运算及其数量积-【突破满分数学】高一数学重难点突破（人教A版必修4）

突破2.3及2.4 平面向量的坐标运算及其数量积 一、考情分析 二、经验分享 三、题型分析 (一) 平面向量的基本定理与坐标表示 知识点1 平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底． 例1．（1）.（2019·四川雅安中学高一月考）以下四组向量能作为基底的是（ ） A． B． C． D． （2）.（2019·江西高一期末（理））设是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 （3）.（2019·内蒙古高三月考（理））在正方形中，点为内切圆的圆心，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】．（2011·北京高三开学考试（理））在平行四边形ABCD中，，，，则 .（用表示） 【变式训练2】．（2019·全国高三月考（理））己知边长为2的正方形，分别是边上的两个点，，若，则的最小值为_____________. (二) 平面向量的坐标运算 知识点2 平面向量的坐标运算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)． (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)． (3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)． (4)a·b＝x1x2＋y1y2. (5)|a|＝.|＝).若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|＋y 例2．（1）.（2019·福建高三月考）已知，若，则的坐标为（ ） A． B． C． D． （2）.（2019·湖南高一期末）已知，，则（ ） A．2 B． C．4 D． 【变式训练1】.（2017·湖北高一期中（文））已知向量，向量. （1）求向量的坐标； （2）当为何值时，向量与向量共线. 【变式训练2】.（2018·上海市嘉定区封浜高级中学高二期中）已知，为坐标原点. (1) 求向量的坐标及； (2) 若，求与同向的单位向量的坐标． (三) 平面向量的数量积 知识点3．平面向量数量积 1．平面向量数量积的有关概念 (1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角．＝a， (2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.规定：0·a＝0. (3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ. (2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (3)cos θ＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 3．平面向量数量积的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2. (2)|a|＝.|＝).若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|＋y (3)cos θ＝)).＋y)·\r(x＋y (4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 例3．（1）.（2019·陕西高二期中（文））平面向量与的夹角为60°，且，，则（ ） A． B． C．19 D． （2）.（2019·全国高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则= A．-3 B．-2 C．2 D．3 【变式训练1】.（2019·安徽高三月考（理））已知，，均为单位向量，与的夹角为，则的最大值为( ) A． B． C．2 D．3 【变式训练2】.（2018·浙江高考真题）若，，均为单位向量，且，，则的最大值为（　　） A． B．1 C． D．2 【变式训练3】.（2019·江苏高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____. 【变式训练4】.（2019·浙江高一期中）已知为单位向量，. （1）求； （2）求与的夹角的余弦值； (四) 平面向量的应用（平行与垂直） 知识点1 平面向量的平行与垂直 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)． (1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件为x1y2－x2y1＝0. a∥b的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线