高考真题题型详解01 函数-2020高考文科数学复习专号【抢分计划】题型解析冲击训练

书书书 函数是中学数学的重点内容，它几乎贯穿中学数 学的始终，蕴涵着中学阶段的很多理念、思想及方法， 可以说，它是进一步学习高等数学的基础知识和重要 工具，因而也是高考数学的考查重点和热点，在历年的 高考中所占比例较大．这些试题不仅考查有关函数的 基础知识、基本性质及基本方法，而且注重考查逻辑思 维能力与运算能力，以及分析问题和解决问题的能力． 通过函数的基础知识、基本方法在三角函数、数列、立 体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知 识间的融汇贯通，从而提高分析问题与解决问题的能 力．本文对函数的相关知识点及其相互之间的内在联 系以及高考命题规律作重点的讲解与分析． 一、透析函数的概念及三要素 定义域、值域、对应法则是函数的三要素，定义域 是使函数有意义所必须具备的前提条件．没有定义域 的“函数”就构不成函数，而大多数同学最容易忽视的 也是这一点，因此解题时要遵循“定义域优先”的原则． 函数的对应法则是联系函数的自变量与函数值之间关 系的桥梁，中学阶段函数的表示方法常见的有解析式、 图象、图表三种，在表示一个函数时，它们各有特色．解 析式的特点是简洁，图象、图表的特点是直观．函数的 值域是研究函数的一个落脚点，它是自变量取遍定义 域内所有值，通过对应法则得到的函数值的全体．函数 值域的求解方法很多，因此函数的值域在函数学习中 是一个难点，函数的最值也可以利用求值域的方法来 求解．这部分知识是高考考查的重点和热点，经常涉及 到方程问题、不等式问题、导数问题等． 二、透析函数的单调性 函数的单调性是研究函数图象形态走势的一种重 要工具．求函数的值域、比较函数值的大小、解不等式 等知识都离不开函数的单调性，判断函数单调性的常 见方法有定义法和导数法．值得注意的是，函数的单调 性是针对函数定义域内的某个子区间而言的，脱离函 数定义域内的某个区间谈函数的单调性是无意义的． 导函数的正负也是判定函数单调性的一种方法． 三、透析函数的奇偶性和周期性 正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两 个问题：（１）定义域在数轴上关于原点对称是函数为奇 函数或偶函数的必要不充分条件；（２）ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ） 或ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ）是定义域上的恒等式，奇函数的图象 关于原点对称，偶函数的图象关于ｙ轴对称，反之也真． 利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利 用它去判断函数的奇偶性． 对于一个周期函数来说，如果在所有周期中存在 着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正 周期． 四、透析函数的最值 函数的最大（小）值是相对函数的整个定义域而 言，其几何意义即是图象的最高（低）点的纵坐标，它与 函数的值域是两个不同的概念，但是两者有必然的 联系． 题型一、函数的定义域、值域、解析式 例１ （２０１９江苏）函数ｙ＝ ７＋６ｘ－ｘ槡 ２的定义 域是 ． 解析：要使函数有意义，则７＋６ｘ－ｘ２≥０，解得 －１≤ｘ≤７，则函数的定义域是［－１，７］． 点评：本题主要考查函数的定义域，考查学生对基 础知识的理解和应用以及运算求解能力． 例２ ａ为实数，函数ｆ（ｘ）＝｜ｘ２－ａｘ｜在区间［０， １］上的最大值记为ｇ（ａ）．当ａ＝ 时，ｇ（ａ）的 值最小． 解析：（１）当ａ＝０时，ｆ（ｘ）＝ｘ２，函数ｆ（ｘ）在区间 ［０，１］上单调递增，故ｇ（ａ）＝ｆ（１）＝１． （２）当ａ＜０时，函数ｆ（ｘ）的图象如图１所示，函数 ｆ（ｘ）在区间［０，１］上单调递增，故 ｇ（ａ）＝ｆ（１）＝ １－ａ． （３）当０＜ａ＜１时，函数ｆ（ｘ）的图象如图２所示， ｆ ａ( )２ ＝ ａ２ ４，ｆ（１）＝１－ａ，ｆ ａ( )２ －ｆ（１）＝ ａ２ ４－（１－ａ） ＝（ａ＋２） ２－８ ４ ． ①当０＜ａ＜ 槡２２－２时，因为ｆ ａ( )２ －ｆ（１）＜０， 即ｆ ａ( )２ ＜ｆ（１），所以ｇ（ａ）＝ｆ（１）＝１－ａ； ②当 槡２２－２≤ａ＜１时，因为ｆ ａ( )２ －ｆ（１）≥０， 即ｆ ａ( )２ ≥ｆ（１），所以ｇ（ａ）＝ｆ ａ( )２ ＝ ａ２ ４． （４）当１≤ａ＜２时，函数ｆ（ｘ）的图象如图３所示， 因为函数 ｆ（ｘ）在区间 ０，ａ[ ]２ 上单调递增，在区间 ａ ２，[ ]１上单调递减，故ｇ（ａ）＝ｆ ａ( )２ ＝ ａ２ ４． （５）当ａ≥２时，函数ｆ（ｘ）的图象如图４所示，因为 函数ｆ（ｘ）在区间［０，１］上单调递增，故ｇ（ａ）＝ｆ（１）＝ ａ－１． 综上，ｇ（ａ）＝ １－ａ，　ａ＜ 槡２２－２， ａ２ ４， 槡２２－２≤ａ＜２， ａ－１， ａ≥２ { ， 当ａ＜ 槡２２－２时，ｇ（ａ）＞ｇ（槡２２－２）＝３－槡２２； 当 槡２２－２≤ａ＜２时，ｇ（ａ）≥ｇ（槡２２－２）＝３－ 槡２２； 当ａ≥２时，ｇ（ａ）≥ｇ（２）＝１＞３－ 槡２２． 综上，当