高考真题题型详解02 三角函数-2020高考文科数学复习专号【抢分计划】题型解析冲击训练

书书书 三角函数是基本初等函数之一，是高考中的重点 考查内容．本部分内容主要涉及三角函数的概念、三角 函数的基本公式及恒等变换、三角函数的图象与性质、 解三角形等． 一、注重诱导公式和三角恒等式的学习 利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐 角的三角函数，诱导公式起着变名、变号、变角等作用， 可用“奇变偶不变，符号看象限”口诀来帮助记忆．三角 恒等式在运用时要注意审查公式成立的条件，要熟练 掌握公式的逆用、反用、变形用，注意升幂、降幂公式的 使用． 二、注重三角函数的图象与性质的学习 熟练掌握和运用函数ｙ＝ｓｉｎｘ，ｙ＝ｃｏｓｘ，ｙ＝ｔａｎｘ 的性质解决三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、 周期性等问题，这是解决三角函数问题的基础．重点掌 握函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的五点作图法和图象变换过 程，有关三角函数的定义域、值域、最大值、最小值问题 通常把函数解析式化为ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）＋ｂ这种结 构，然后根据图象去求解． 三、注重解三角形知识的学习 在高考中解三角形知识常与三角函数知识结合起 来考查．正弦定理和余弦定理是解三角形问题的主要 工具，是联系三角形边和角关系的桥梁，在解答过程中 要通过三角公式对得到的关系式进行化简、变形、整 理，得到三角形的边角关系．解三角形问题应首先确定 该三角形是一个或两个，对有两种情况的要进行讨论． 另外要注意角的取值范围和三角形这一特定的几何背景． 四、注重三角函数应用题 三角函数的实际应用是指用三角函数理论解决生 产、科研和日常生活中的实际问题．三角函数的知识产 生于测量、航海和天文学，进而在机械制造、电工、物理 学等学科中得到广泛应用．对于测量、航海问题，要理 解有关仰角、俯角、方位角等概念，画出示意图，将问题 归结为解三角形问题． 五、注重常见方法和技巧的学习 化归与转化思想是解决三角函数问题的主要思想 方法，主要表现在变换上，多种变换都需要我们去掌握． 函数的变换：如切化弦，一般来说把切函数变为弦 函数便于问题的解决，我们可用同角三角函数关系中 的商数关系来转换；再如用诱导公式实现正弦和余弦 之间的转化． 其他常用的变换主要有： （１）１的变换：如１＝ｔａｎπ４，１＝ｓｉｎ ２α＋ｃｏｓ２α等． （２）角的变换：如α＝２·α２，α＝（α＋β）－β，α＝ １ ２［（α＋β）＋（α－β）］等． （３）式的变换：如 ｃｏｓ２α＝２ｃｏｓ２α－１＝１－ ２ｓｉｎ２α，ｃｏｓ２α＝１＋ｃｏｓ２α２ ，ｓｉｎ ２α＝１－ｃｏｓ２α２ ． （４）幂的变换：如ｓｉｎα＋ｃｏｓα，ｓｉｎα－ｃｏｓα，ｓｉｎα ·ｃｏｓα，这三个式子如果已知其中一个式子的值，则其 余两个的值也可求出． 题型一、任意角的三角函数 例１ （２０１８全国Ⅰ）已知角α的顶点为坐标原 点，始边与ｘ轴的非负半轴重合，终边上有两点 Ａ（１， ａ），Ｂ（２，ｂ），且ｃｏｓ２α＝ ２３，则｜ａ－ｂ｜＝ （　　） （Ａ）１５ （Ｂ） 槡５ ５ （Ｃ） 槡２５ ５ （Ｄ）１ 解析：由题意知ｃｏｓα＞０． 因为 ｃｏｓ２α＝２ｃｏｓ２α－１＝ ２３，所以 ｃｏｓα＝ 槡 ５ ６，ｓｉｎα＝±槡 １ ６，得｜ｔａｎα｜＝ 槡５ ５． 由题意知｜ｔａｎα｜＝ ａ－ｂ １－２ ，所以｜ａ－ｂ｜＝槡５５． 故选（Ｂ）． 点评：本题主要考查任意角的三角函数和三角恒 等变换，考查学生分析问题、解决问题的能力以及运算 求解能力． 例２ （２０１８浙江）已知角 α的顶点与原点 Ｏ重 合，始边与 ｘ轴的非负半轴重合，它的终边过点 Ｐ －３５，－( )４５ ． （１）求ｓｉｎ（α＋π）的值； （２）若角β满足ｓｉｎ（α＋β）＝ ５１３，求ｃｏｓβ的值． 解析：（１）由角 α的终边过点 Ｐ －３５，－( )４５ 得 ｓｉｎα＝－４５， 所以ｓｉｎ（α＋π）＝－ｓｉｎα＝ ４５． （２）由角α的终边过点Ｐ －３５，－( )４５ 得 ｃｏｓα＝－３５， 由ｓｉｎ（α＋β）＝ ５１３得ｃｏｓ（α＋β）＝± １２ １３． 由β＝（α＋β）－α得 ｃｏｓβ＝ｃｏｓ（α＋β）ｃｏｓα＋ｓｉｎ（α＋β）ｓｉｎα， 所以ｃｏｓβ＝－５６６５或ｃｏｓβ＝ １６ ６５． 点评：本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、 两角差的余弦公式，同时考查学生分析问题、解决问题 的能力以及运算求解能力． 题型二、三角函数化简、求值 例３ （２０１９全国Ⅰ）ｔａｎ２５５°＝ （　　） （Ａ）－２－槡３ （Ｂ）－２＋槡３ （Ｃ）２－槡３ （Ｄ）２＋槡３ 解析：由正切函数的周期性可知，ｔａｎ２５５°＝ ｔａｎ（１８０°＋７５°）＝ｔａｎ７５°＝ｔａｎ（３０°＋４５°）＝ 槡３ ３＋１ １－槡３３ ＝２＋槡３，故选（Ｄ）． 点评：本题主要考查诱导公式及两角和的正切公 式的应用，意在考查学生