高考真题题型详解03 立体几何-2020高考文科数学复习专号【抢分计划】题型解析冲击训练

书书书 一、透析命题形式 立体几何是高中数学的重要内容，是每年高考的 必考内容，若以选择题、填空题的形式出现，多数是基 础题，难度不大，若以解答题的形式考查立体几何的综 合问题，则着重考查逻辑推理型问题，如空间平行与垂 直关系的论证、探索性问题、三视图、几何图形的折叠 与展开等，从命题形式看，立体几何的解答题一般作为 整套试卷中的中档题出现，有两到三个设问，各设问之 间在解答时有一定的连贯性．在立体几何试题中，考查 线面的位置关系以及角与距离的求解等，这类问题往 往以多面体（棱柱、棱锥、棱台等）和旋转体（圆柱、圆 锥、圆台等）为载体进行考查，随着新的课程改革的进 一步实施，立体几何正朝着“多一点思考，少一点运算” 的方向发展． 二、透析考试内容 １．空间点、线、面的位置关系． 空间几何体中判断点共面问题，直线与直线、直线 与平面、平面与平面的平行与垂直关系的判断问题是 高考中立体几何的重点和热点，一般出现在选择题、填 空题或解答题的第一问，问题难度不大，多属于送分 题，理清所给图形中点、线、面的位置关系，熟练掌握直 线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的判 定定理和性质定理，准确地用数学语言和符号将定理 的内容表达出来是解答问题的关键，这类题目既可以 考查多面体的概念和性质，又能考查空间的线面关系， 并将论证和计算有机地结合在一起，可以比较全面、准 确地考查同学们的空间想象能力、逻辑推理能力以及 分析和解决问题的能力． ２．空间角． 空间角是每年高考中的必考内容，主要涉及异面 直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等． ３．空间距离． 空间距离常见的是点到直线的距离，点到平面的 距离，高考对空间距离的考查主要是求点到平面的距 离，要注意解答此类问题的转化方法． 题型一、空间几何体的机构、三视图、直观图 例１ （２０１８全国Ⅲ）中国古建 筑借助榫卯将木构件连接起来，构 件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫 卯眼，图中木构件右边的小长方体 是榫头．若如图１摆放的木构件与 某一带卯眼的木构件咬合成长方 体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 （　　） 解析：由题意可知，咬合时带卯眼 的木构件如图２所示，其俯视图为选项 （Ａ）中的图形． 点评：本题主要考查三视图，考查 学生的空间想象能力和阅读理解能力， 属于基础题． 题型二、空间几何体的表面积、体积 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例２ （２０１８全国Ⅰ）已知圆柱的上、下底面的中 心分别为Ｏ１，Ｏ２，过直线Ｏ１Ｏ２的平面截该圆柱所得的 截面是面积为８的正方形，则该圆柱的表面积为 （　　） （Ａ） 槡１２２π （Ｂ）１２π （Ｃ）槡８２π （Ｄ）１０π 解析：由题意，可得截面是边长为 槡２２的正方形， 结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面是半径为槡２ 的圆，且高为 槡２２， 所以其表面积为Ｓ＝２π（槡２） ２＋２π·槡２· 槡２２＝ １２π，故选（Ｂ）． 点评：本题主要考查圆柱的表面积等知识，考查学 生的运算求解能力及空间想象能力． 例３ （２０１９北京）某几何体是由一个正方体去 掉一个四棱柱所得，其三视图如图３所示．如果网格纸 上小正方形的边长为 １，那么该几何体的体积为 ． 解析：如图４所示的正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的棱 长为４，去掉四棱柱ＭＱＤ１Ａ１－ＮＰＣ１Ｂ１（其底面是一个 上底为２，下底为４，高为２的直角梯形）所得的几何体 为题中三视图对应的几何体， 故所求几何体的体积为４３－１２×（２＋４）×２×４ ＝４０． 点评：本题主要考查几何体的三视图、几何体的体 积等知识，考查学生的空间想象能力以及运算求解 能力． 例４ （２０１９天津）已知四棱锥的底面是边长为 槡２的正方形，侧棱长均为槡５．若圆柱的一个底面的圆周 经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四 棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 ． 解析：由题可得，四棱锥底面对角线的长为２，则圆 柱底面的半径为 １ ２．易知四棱锥的高为 ５－槡 １＝２． 故圆柱的高为１，所以圆柱的体积为π (× )１２ ２ × １＝π４． 点评：本题主要考查空间几何体的结构特征与体 积的计算，考查学生的空间想象能力、运算求解能力． 例５ （２０１９全国Ⅲ）学生到工厂劳动实践，利用 ３Ｄ打印技术制作模型．如图５，该模型为长方体 ＡＢＣＤ －Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１挖去四棱锥Ｏ－ＥＦＧＨ后所得的几何体，其 中Ｏ为长方体的中心，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别为所在棱的中点， ＡＢ＝ＢＣ＝６ｃｍ，ＡＡ１＝４ｃｍ．３Ｄ打印所用原料密度为 ０．９ｇ／ｃｍ３，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质 量为 ｇ． 解析：由题易得长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的体积为 ６×６×４＝１４４（ｃｍ３）．四边形ＥＦＧＨ为平行四边形，如 图６所示．连接ＧＥ，ＨＦ，易知四