高考真题题型详解04 概率与统计-2020高考文科数学复习专号【抢分计划】题型解析冲击训练

书书书 概率与统计不仅是数学的一个重要分支，更是与 现实生产与生活息息相关的一门科学，也是其他自然 科学研究中经常用到的基础知识．概率与统计方面的 试题难度往往不是很大，但有些题目的题意难以把握 与理解，从而导致解题困难或解题失误的情况，因此有 必要对这部分知识进行结构化思考． 一、透析概率的定义 概率反映的是随机事件在一次试验中发生的可能 性的大小，是在大量相同的重复试验下随机事件出现 的频率的稳定性，是偶然中的必然． 二、透析互斥事件的概率 若事件Ａ发生，则事件Ｂ就不会发生，同样，若事件 Ｂ发生，则事件Ａ就不会发生，这样的两个事件称为互 斥事件或称事件Ａ与事件Ｂ互斥．从集合的角度来看， 事件Ａ，Ｂ都是包含若干个结果的集合，这两个集合的 交集是空集，这一概念可以推广到 ｎ个事件的情况．其 中在一次试验中必有一个会发生的两个互斥事件称为 对立事件，从集合角度来看，事件Ａ，Ｂ都是包含若干个 结果的集合，这两个集合的交集是空集且这两个集合 的并集是全集． 三、透析统计与统计案例 高考中对统计的考查主要有三个方面：① 抽样方 法；②频率分布直方图；③样本的平均值与方差；④回 归分析与独立性检验． 高考对统计案例的考查一般以图表为载体，以现 实生活中的例子为依托，重点考查同学们对一些实际 问题的分析能力． 题型一：古典概型 例１ （２０１９全国Ⅱ）生物实验室有５只兔子，其 中只有３只测量过某项指标，若从这５只兔子中随机取 出３只，则恰有２只测量过该指标的概率为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （Ａ）２３ （Ｂ） ３ ５ （Ｃ）２５ （Ｄ） １ ５ 解析：设３只测量过某项指标的兔子为Ａ，Ｂ，Ｃ，另２ 只兔子为ａ，ｂ，从这５只兔子中随机取出３只，则基本事 件共有 １０种，分别为（Ａ，Ｂ，Ｃ），（Ａ，Ｂ，ａ），（Ａ，Ｂ，ｂ）， （Ａ，Ｃ，ａ），（Ａ，Ｃ，ｂ），（Ａ，ａ，ｂ），（Ｂ，Ｃ，ａ），（Ｂ，Ｃ，ｂ），（Ｂ， ａ，ｂ），（Ｃ，ａ，ｂ），其中“恰有２只测量过该指标”的取法 有６种，分别为（Ａ，Ｂ，ａ），（Ａ，Ｂ，ｂ），（Ａ，Ｃ，ａ），（Ａ，Ｃ， ｂ），（Ｂ，Ｃ，ａ），（Ｂ，Ｃ，ｂ）， 因此所求的概率为 ６ １０＝ ３ ５，故选（Ｂ）． 点评：本题主要考查古典概型概率的求解，考查学 生的运算求解能力． 题型二、几何概型 例２ （２０１８全国Ⅰ）如 图１来自古希腊数学家希波克 拉底所研究的几何图形．此图 由三个半圆构成，三个半圆的 直径分别为直角三角形 ＡＢＣ 的斜边ＢＣ，直角边 ＡＢ，ＡＣ．△ＡＢＣ的三边所围成的区 域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个 图形中随机取一点，此点取自 Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 的概率分别记 为ｐ１，ｐ２，ｐ３，则 （　　） （Ａ）ｐ１ ＝ｐ２ （Ｂ）ｐ１ ＝ｐ３ （Ｃ）ｐ２ ＝ｐ３ （Ｄ）ｐ１ ＝ｐ２＋ｐ３ 解析：设直角三角形ＡＢＣ的内角 Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边 分别为ａ，ｂ，ｃ，其中ｂ２＋ｃ２ ＝ａ２， 则区域Ⅰ的面积即△ＡＢＣ的面积为Ｓ１ ＝ １ ２ｂｃ， 区域Ⅱ 的面积为 Ｓ２ ＝ １ ２π× ｃ( )２ ２ ＋１２π× ｂ( )２ ２ [－ １２π× ａ( )２ ２ －１２ ]ｂｃ ＝１８π（ｃ２＋ｂ２－ａ２） ＋１２ｂｃ＝ １ ２ｂｃ， 区域Ⅲ的面积为Ｓ３＝ １ ２π× ａ( )２ ２ －１２ｂｃ＝ πａ２ ８ －１２ｂｃ，所以有Ｓ１ ＝Ｓ２， 根据几何概型的概率公式，可得ｐ１ ＝ｐ２， 故选（Ａ）． 点评：本题考查的是面积型几何概型的有关问题， 同时考查学生的化归与转化能力以及运算求解能力． 题型三、互斥事件 例３ （２０１８全国Ⅲ）若某群体中的成员只用现金 支付的概率为０．４５，既用现金支付也用非现金支付的 概率为０．１５，则不用现金支付的概率为 （　　） （Ａ）０．３ （Ｂ）０．４ （Ｃ）０．６ （Ｄ）０．７ 解析：设“只用现金支付”为事件 Ａ，“既用现金支 付也用非现金支付”为事件 Ｂ，“不用现金支付”为事 件Ｃ， 则Ｐ（Ｃ）＝１－Ｐ（Ａ）－Ｐ（Ｂ） ＝１－０．４５－０．１５ ＝０．４． 故选（Ｂ）． 点评：本题主要考查互斥事件的概率，考查学生的 计算能力，属于基础题． 题型四、统计问题 例４ （２０１９全国Ⅰ）某学校为了解１０００名新 生的身体素质，将这些学生编号为１，２，…，１０００，从这 些新生中用系统抽样方法等距抽取１００名学生进行体 质测验．若４６号学生被抽到，则下面４名学生中被抽到 的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ）８号学生 （Ｂ）２００号学生 （Ｃ）６１６号学生 （Ｄ）８１５号学生 解析：由系统抽样可知第一组学生的编号为１～ １０，第二组学生的编号为１１～２０，…，最后一组学生的 编号为９９１～１０００．设第一组取到的学生编号为ｘ，则 第二组