高考真题题型详解05 平面向量-2020高考文科数学复习专号【抢分计划】题型解析冲击训练

书书书 平面向量也是高考中的常考点之一，考查方式有 两种，一是以选择题、填空题的形式去考查有关向量的 基本知识；二是与三角函数、解析几何等知识结合起来 以解答题的形式考查，本文总结了第一种考查方式下 的常见题型． 题型一：向量的线性运算 例１ （２０１８全国Ⅰ）在△ＡＢＣ中，ＡＤ为ＢＣ边上 的中线，Ｅ为ＡＤ的中点，则→ＥＢ＝ （　　） （Ａ）３４ →ＡＢ－１４ →ＡＣ　　　（Ｂ）１４ →ＡＢ－３４ →ＡＣ （Ｃ）３４ →ＡＢ＋１４ →ＡＣ （Ｄ）１４ →ＡＢ＋３４ →ＡＣ 解析：如图１所示，→ →ＥＢ＝ＥＤ →＋ＤＢ＝１２ →ＡＤ＋１２ →ＣＢ＝１２× １ ２（ → →ＡＢ＋ＡＣ）＋１２（ → →ＡＢ－ＡＣ）＝ ３ ４ →ＡＢ－１４ →ＡＣ，故选（Ａ）． 点评：本题主要考查平面向 量的线性运算，考查学生的化归与转化能力、数形结合 能力及运算求解能力． 题型二：向量平行 例２ （２０１８全国Ⅲ）已知向量ａ＝（１，２），ｂ＝ （２，－２），ｃ＝（１，λ）．若 ｃ∥ （２ａ＋ｂ），则 λ ＝ ． 解析：由题可得２ａ＋ｂ＝（４，２）， 因为ｃ∥（２ａ＋ｂ），ｃ＝（１，λ）， 所以４λ－２＝０，解得λ＝ １２． 点评：本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共 线的坐标关系，同时考查运算求解能力，属于基础题． 题型三：向量垂直 例３ （２０１９全国Ⅰ）已知非零向量ａ，ｂ满足｜ａ｜ ＝２｜ｂ｜，且（ａ－ｂ）⊥ｂ，则ａ与ｂ的夹角为 （　　） （Ａ）π６　　（Ｂ） π ３　　（Ｃ） ２π ３　　（Ｄ） ５π ６ 解析：设ａ与ｂ的夹角为α， 因为（ａ－ｂ）⊥ｂ，所以（ａ－ｂ）·ｂ＝０，所以ａ·ｂ ＝ｂ２，所以｜ａ｜·｜ｂ｜ｃｏｓα＝｜ｂ｜２，又｜ａ｜＝２｜ｂ｜， 所以ｃｏｓα＝１２，因为α∈（０，π），所以α＝ π ３．故选（Ｂ）． 点评：本题主要考查平面向量的垂直、平面向量的 夹角，考查学生的化归与转化能力、运算求解能力． 题型四、向量的模 例４ （２０１９全国Ⅱ）已知向量 ａ＝（２，３），ｂ＝ （３，２），则｜ａ－ｂ｜＝ （　　） （Ａ）槡２ （Ｂ）２ （Ｃ）槡５２ （Ｄ）５０ 解析：依题意 ａ－ｂ＝（－１，１），｜ａ－ｂ｜＝ （－１）２＋１槡 ２ ＝槡２，故选（Ａ）． 点评：本题主要考查向量的坐标运算、向量的模， 考查学生的运算求解能力． 题型五、平面向量基本定理 例５ （２０１９江苏）如图 ２，在△ＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ的中点， Ｅ在边ＡＢ上，ＢＥ＝２ＥＡ，ＡＤ与ＣＥ 交于点Ｏ．若→ＡＢ·→ＡＣ＝６→ＡＯ·→ＥＣ， 则 ＡＢ ＡＣ的值是 ． 解析：由Ａ，Ｏ，Ｄ三点共线，可设→ＡＯ＝λ→ＡＤ，则→ＡＯ ＝ λ２（ → →ＡＢ＋ＡＣ），由Ｅ，Ｏ，Ｃ三点共线可设→ＥＯ＝μ→ＥＣ， 则 → →ＡＯ－ＡＥ＝μ（→ →ＡＣ－ＡＥ），则→ＡＯ＝（１－μ）→ＡＥ＋ μ→ＡＣ＝ １３（１－μ） →ＡＢ＋μ→ＡＣ， 由平面向量基本定理可得 １ ３（１－μ）＝ λ ２， μ＝ λ２ { ， 解得μ＝ １４，λ＝ １ ２， 则 →ＡＯ＝１４（ → →ＡＢ＋ＡＣ），→ → → →ＥＣ＝ＡＣ－ＡＥ＝ＡＣ－１３ →ＡＢ， 则６→ＡＯ·→ＥＣ＝６×１４（ → →ＡＢ＋ＡＣ (）· →ＡＣ－１３→ )ＡＢ ＝ (３２ ２３→ＡＢ·→ →ＡＣ＋ＡＣ２－１３→ＡＢ )２ →＝ＡＢ·→ＡＣ，化简得 ３→ＡＣ２ →＝ＡＢ２，则ＡＢＡＣ＝槡３． 点评：本题主要考查向量的线性运算、平面向量基 本定理，考查学生分析问题、解决问题的能力． 题型六、向量的数量积 例６ （２０１９天津）在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ， ＡＢ＝ 槡２３，ＡＤ＝５，∠Ａ＝３０°，点Ｅ在线段ＣＢ的延长 线上，且ＡＥ＝ＢＥ，则→ＢＤ·→ＡＥ＝ ． 解析：在等腰 △ＡＢＥ中，易得 ∠ＢＡＥ＝∠ＡＢＥ＝ ３０°，故｜ＢＥ｜＝２．则→ＢＤ·→ＡＥ＝（→ →ＡＤ－ＡＢ）·（→ →ＡＢ＋ＢＥ） →＝ＡＤ·→ →ＡＢ＋ＡＤ·→ →ＢＥ－ＡＢ２ →－ＡＢ·→ＢＥ＝５× 槡２３× ｃｏｓ３０°＋５×２×ｃｏｓ１８０°－１２－ 槡２３×２×ｃｏｓ１５０°＝ １５－１０－１２＋６＝－１． 点评：本题主要考查平面向量的线性运算与数量 积，考查学生的运算求解能力． 例７ （２０１９北京）设点Ａ，Ｂ，Ｃ不共线，则“→ＡＢ与 →ＡＣ的夹角为锐角”是“ → → →｜ＡＢ＋ＡＣ｜＞｜ＢＣ｜”的 （　　） （Ａ）充分不必要条件