高考真题题型详解06 不等式与线性规划-2020高考文科数学复习专号【抢分计划】题型解析冲击训练

书书书 一、透析不等关系与不等式 不等关系与不等式是高考的热点，在每年的高考 中一般很少单独命题，而是与集合、函数、充要条件等 相互交叉，题目一般有比较大小、判断不等式是否成立 等，题型多数为选择题、填空题，难度不大． 主要考点有： （１）根据给定条件，利用不等式的性质，判断不等 式或与之有关的结论是否成立； （２）利用不等式的性质与实数的性质、函数的性质 比较大小； （３）利用不等式的性质解不等式或证明不等式． 应用不等式性质时，要注意不要弱化或强化条件， 否则会得出错误的结论．例如在应用“ａ＞ｂ，ａｂ＞０ １ ａ ＜ １ ｂ”这一性质时，有的同学就弱化条件得到错误 的结论“ａ＞ｂ １ａ ＜ １ ｂ”，而有的同学就强化条件得 到应用范围很小的结论“ａ＞ｂ＞０ １ａ ＜ １ ｂ”． 二、透析不等式的解法 高考对不等式的解法的考查主要与其他知识相结 合进行考查，以选择题、填空题的形式考查的多数是基 础题，难度不大． 考点主要有三个：（１）直接考查不等式解集的求 法；（２）与集合知识相结合进行考查，突出考查同学们 使用数学语言的能力和使用数形结合思想解决问题的 能力；（３）与命题、充要条件等知识相结合进行考查，主 要考查同学们对数学问题的“观察、推理、概括、证明” 及创造性解决问题的能力． 三、透析基本（均值）不等式 不等式的证明在高考中一般不会单独考查，经常 与其他知识结合考查． 考点主要有： （１）由基本（均值）不等式判断所给不等式是否成 立；（２）由基本（均值）不等式来求函数最值；（３）在与 函数、数列、三角函数综合的试题中考查不等式证明． 用基本（均值）不等式求函数的最值是一种值得 重视的方法，在具体求解时应注意下列三个条件：①函 数解析式中各项均为正数；② 函数解析式中含变数的 各项的和或积必须有一个为定值；③函数解析式中，含 变数的各项均相等时取得最值． 四、透析简单的线性规划 高考对简单的线性规划的考查主要以选择题和填 空题的形式出现，与函数、解析几何等知识联系密切， 属中低档题． 考点主要有：（１）二元一次不等式（组）表示平面 区域；（２）根据可行域求出目标函数的最大值或最小 值，求封闭区域的面积；（３）考查数形结合及逆向思维； （４）数学建模的思想和应用数学知识解决实际生活问 题等． 题型一、不等式与不等关系 例１ 设ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ，且ａ＞ｂ，则 （　　） （Ａ）ａｃ＞ｂｃ　　　　　（Ｂ）１ａ ＜ １ ｂ （Ｃ）ａ２ ＞ｂ２　　　 （Ｄ）ａ３ ＞ｂ３ 解析：（Ａ）项，ｃ≤０时，由ａ＞ｂ不能得到ａｃ＞ｂｃ， 故（Ａ）不正确； （Ｂ）项，当ａ＞０，ｂ＜０（如ａ＝１，ｂ＝－２）时，由 ａ＞ｂ不能得到 １ａ ＜ １ ｂ，故（Ｂ）不正确； （Ｃ）项，由ａ２－ｂ２＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）及ａ＞ｂ可知 当ａ＋ｂ＜０时（如ａ＝－２，ｂ＝－３或ａ＝２，ｂ＝－３）均 不能得到ａ２ ＞ｂ２，故（Ｃ）不正确； （Ｄ）项，ａ３－ｂ３＝（ａ－ｂ）（ａ２＋ａｂ＋ｂ２）＝（ａ－ｂ） · ａ＋ｂ( )２ ２ ＋３４ｂ[ ]２ ，因为 ａ＋ｂ( )２ ２ ＋３４ｂ ２ ＞０，所 以可由ａ＞ｂ知ａ３－ｂ３ ＞０，即ａ３ ＞ｂ３，故（Ｄ）正确． 点评：本题以比较两实数的大小为切入点，考查了 用作差法比较两实数的大小，以及特殊值排除法在实 数比较大小中的应用． 题型二、不等式的解法 例２ （２０１９天津）设ｘ∈Ｒ，使不等式３ｘ２＋ｘ－２ ＜０成立的ｘ的取值范围为 ． 解析：３ｘ２＋ｘ－２＜０即（３ｘ－２）（ｘ＋１）＜０， 所以 －１＜ｘ＜ ２３． 点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，考查 学生的运算求解能力． 例３ 设ｘ∈Ｒ，则不等式｜ｘ－３｜＜１的解集为 ． 解析：由题意得 －１＜ｘ－３＜１，即２＜ｘ＜４， 故不等式的解集为（２，４）． 点评：本题考查绝对值不等式的解法，关键是去掉 绝对值符号，进一步求解． 题型三、基本不等式 例４ （２０１９天津）设ｘ＞０，ｙ＞０，ｘ＋２ｙ＝４，则 （ｘ＋１）（２ｙ＋１） ｘｙ 的最小值为 ． 解 析： 由 题 意 知 （ｘ＋１）（２ｙ＋１） ｘｙ ＝ ２ｘｙ＋ｘ＋２ｙ＋１ ｘｙ ＝ ２ｘｙ＋５ ｘｙ ＝２＋ ５ ｘｙ， 因为ｘ＞０，ｙ＞０，所以４＝ｘ＋２ｙ≥２ ２槡ｘｙ，即ｘｙ ≤２，当且仅当ｘ＝２ｙ＝２时取“＝”， 所以 （ｘ＋１）（２ｙ＋１） ｘｙ ≥２＋ ５ ２ ＝ ９ ２． 点评：本题主要考查二次函数的性质、基本不等式 的应用，考查学生的运算求解能力以及化归与转化 能力． 题型四、线性规划及其应用 例５ （２０１９全国Ⅲ）记不等式组 ｘ＋ｙ≥６， ２ｘ－ｙ≥{ ０表 示的平面区域为Ｄ．命题ｐ：（ｘ，ｙ）∈Ｄ，２ｘ＋ｙ≥９；命 题ｑ：（ｘ，ｙ）∈Ｄ，２ｘ＋ｙ≤１２．下面给出了四个命题： ①ｐ∨