高考真题题型详解07 数列-2020高考文科数学复习专号【抢分计划】题型解析冲击训练

书书书 数列既是高中数学的重要内容，又是学习高等数 学的基础，数列题目形态多变，蕴涵着丰富的数学思 想，因而它在高考中占有重要地位，是每年必考的内 容，约占全卷的８％ ～１０％．试题大致分为两类：一类 是纯数列知识的基础题，多以选择题或填空题出现；另 一类是中等以上难度的综合题，有时作为压轴题出现． 在近几年新课标的试题中，对数列考查的解答题 中，通常与函数、方程、不等式、解析几何等综合在一 起，或者以应用题的形式出现，一般属中、高档难度题． 另外，探索性问题仍然是高考的热点，逻辑思维能力、 演绎推理能力的考查备受青睐． 一、透析数列及其通项公式 该部分知识点的基本应用主要有：１．用函数的观 点认识数列；２．根据通项公式写出数列的任意一项；３． 利用递推公式写出数列的前几项（高考对递推数列仅 要求能根据递推关系写出前几项，故应适当控制难 度）．求数列的通项公式，要注意多观察，多动手，敢猜 想，勤归纳，勤验证．若已知Ｓｎ求ａｎ，一定要注意ｎ＝１ 的情况．该部分内容在高考中一般不会单独命题，但用 归纳法写出一个数列的通项公式，却能培养同学们观 察、分析和解决问题的能力，故应引起重视． 二、透析等差数列 １．学习等差数列的基本公式，要从公式的顺用、逆 用、变式等多角度地去掌握． ２．要深刻理解等差数列的定义及其等价形式，熟 练运用通项公式与求和公式． ３．判断一个数列是否为等差数列，不能只验证数 列的前几项，需要根据定义证明ａｎ＋１－ａｎ＝常数，也可 以证明其等价形式２ａｎ＝ａｎ－１＋ａｎ＋１．特别地，在判定三 个实数ａ，ｂ，ｃ成等差数列时，常用ａ＋ｃ＝２ｂ．等差数列 的通项公式与前ｎ项和公式联系着五个基本量，“知三 求二”是一类最基本的运算题．在已知三数成等差数 列时，可设三个数依次为ａ，ａ＋ｄ，ａ＋２ｄ或ａ－ｄ，ａ，ａ＋ ｄ，这样会使许多问题能够得到迅速准确地解决． 等差数列考查的题型既有选择题、填空题，又有解 答题；既有容易题、中等题，也有难题．客观题突出“小 而巧”，主要考查性质的灵活运用及对概念的理解；主 观题突出“大而全”，着重考查函数与方程、分类与整合 等重要的数学思想． 三、透析等比数列 １．学习等比数列的基本公式，也要从公式的顺用、 逆用、变形等多角度地去掌握． ２．学习等比数列，要对照等差数列来进行，切实把 握它们之间的区别，深刻理解等比数列的定义及其等 价形式，熟练运用通项公式与求和公式． ３．比较法是理解和掌握两类数列的定义、通项公 式及中项公式、前ｎ项和公式的重要方法．判定一个数 列是等比数列，不能只验证数列的前几项，需要根据定 义证明 ａｎ＋１ ａｎ ＝常数，也可以证明其等价形式 ａ２ｎ ＝ ａｎ－１ａｎ＋１．特别地，在判定三个数 ａ，ｂ，ｃ成等比数列时， 常用ａｃ＝ｂ２．等比数列的通项公式与前 ｎ项和公式联 系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算 题．函数与方程的观点是解决这类问题的基本数学思 想．在已知三数成等比数列时，可设三个数依次为 ａ， ａｑ，ａｑ２，也可设为 ａｑ，ａ，ａｑ，从而使许多实际问题能够 得到迅速准确地解决． 等比数列的定义、判定、通项公式及前ｎ项和公式 的探求以及等比数列性质的应用是历年高考的必考内 容，考查形式类似于等差数列，考查题型既有基础题， 也有与等差数列、函数、方程、解析几何等知识有关的 综合题． 四、透析数列综合问题 １．等差数列与等比数列的综合． （１）等差、等比数列性质的综合、灵活运用是解决 数列综合题的关键，不仅要熟练记忆而且要有应用意识． （２）函数与方程、化归与转化、分类与整合是解决 数列综合问题的重要数学思想，特别要学会利用函数 的观点动态研究数列，揭示运动变化规律，顺利实现函 数、数列、不等式的联系与转化． ２．数列与函数、方程、不等式等的综合． （１）涉及到数列与函数、方程、不等式等知识的综 合性试题，在解题过程中通常用到函数与方程、化归与 转化、分类与整合等数学思想，属于中、高档难度的题 目． （２）数列是特殊的函数，等差、等比数列更是如 此，因此求解数列问题应依据题意，注意沟通数列与函 数之间的内在联系，运用函数与方程的思想求解往往 会使解法方便快捷． （３）在等差数列与等比数列中，经常要根据条件 列方程（组）求解，在解方程（组）时，仔细体会两种情 形中解方程（组）方法的不同之处． 题型一：利用ａｎ与Ｓｎ的关系求通项 例１ （２０１８全国Ⅰ）记Ｓｎ为数列｛ａｎ｝的前ｎ项 和，若Ｓｎ ＝２ａｎ＋１，则Ｓ６ ＝ ． 解析：根据Ｓｎ ＝２ａｎ＋１，可得Ｓｎ＋１ ＝２ａｎ＋１＋１， 两式相减得ａｎ＋１ ＝２ａｎ＋１－２ａｎ，即ａｎ＋１ ＝２ａｎ， 当ｎ＝１时，Ｓ１ ＝ａ１ ＝２ａ１＋１，解得ａ１ ＝－１， 所以数列｛ａｎ｝是以－１为首项，以２为公