高考真题题型详解08 导数及其应用-2020高考文科数学复习专号【抢分计划】题型解析冲击训练

书书书 导数是高中数学的重要组成部分，是高中数学与 大学数学最重要的一个衔接点，在近几年的高考中，导 数几乎全部作为必考内容出现在各地的高考试卷中． 在高考命题上，导数多充当“工具性”的作用，与函数、 解析几何、不等式等知识密切联系．在处理曲线的切 线、函数的最值及单调性、参数的范围、实际生活中的 优化等方面，导数发挥着重大的作用，因此是高考中命 题的重要着眼点． 一、透析导数的运算 高考对导数内容的考查，无论是求切线的斜率，还 是求函数的最值，亦或是单调区间的求解，无不渗透着 对导数运算的考查，所以，相关的一些基本初等函数的 求导公式要熟练掌握．在涉及导数运算的题目中，三次 函数和ｅｘ（或其相关的复合函数）的导数出现较多，运 算也比较简单，但同学们仍要重点注意这些函数导数 的运算． 二、透析函数的单调性 利用导数法求函数的单调区间，是此部分知识在 高考中命题的一个重要着眼点．求解时，一般方法是令 函数的导数分别大于、小于零，分别得到函数的增、减 区间．处理此类问题时，还要注意在求解之前，先求出 函数的定义域，然后再去求函数的单调区间． 三、透析函数的极值 函数极值的考查很多时候是与函数最值联系在一 起的，但近几年的高考中，函数极值的单独考查出现较 多．求解极值，要先求出函数的导数，令导数为零，求出 相应的变量值，结合函数的单调性，判断极值是否存 在，进而求出极值．反之，如果函数在某一点处取得极 值，则在该点处的导数为零，同学们要注意这一结论的 应用． 四、透析函数的最值 求解函数的最值，同样要先求出函数的导数，令导 数为零，求出函数的极值点，根据极值去判断函数的最 值．高考在对这部分知识考查时，往往是求函数在某一 闭区间上的最值，这样在处理时，不但要考虑极值点， 还要将在极值点处求得的函数值，与区间端点处的函 数值进行比较，以得到最大值、最小值． 题型一、导数的概念及计算 例１ （２０１８天津）已知函数 ｆ（ｘ） ＝ｅｘｌｎｘ， ｆ′（ｘ）为ｆ（ｘ）的导函数，则ｆ′（１）的值为 ． 解析：由题意得ｆ′（ｘ）＝ｅｘ×ｌｎｘ＋ｅｘ×１ｘ， 则ｆ′（１）＝ｅ１×ｌｎ１＋ｅ１ ＝ｅ． 点评：本题主要考查导数的运算，意在考查学生的 运算求解能力． 例２ （２０１９全国Ⅱ）曲线ｙ＝２ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ在 点（π，－１）处的切线方程为 （　　） （Ａ）ｘ－ｙ－π－１＝０ （Ｂ）３ｘ－ｙ－２π－１＝０ （Ｃ）２ｘ＋ｙ－２π＋１＝０ （Ｄ）ｘ＋ｙ－π＋１＝０ 解析：依题意得ｙ′＝２ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ， ｙ′ ｘ＝π ＝（２ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ） ｘ＝π ＝２ｃｏｓπ－ｓｉｎπ＝－２， 因此所求的切线方程为ｙ＋１＝－２（ｘ－π）， 即２ｘ＋ｙ－２π＋１＝０， 故选（Ｃ）． 点评：本题主要考查导数的基本运算与几何意义、 直线的方程等，考查学生的运算求解能力． 例３ （２０１９全国Ⅲ）已知曲线ｙ＝ａｅｘ＋ｘｌｎｘ在 点（１，ａｅ）处的切线方程为ｙ＝２ｘ＋ｂ，则 （　　） （Ａ）ａ＝ｅ，ｂ＝－１　　（Ｂ）ａ＝ｅ，ｂ＝１ （Ｃ）ａ＝ｅ－１，ｂ＝１ （Ｄ）ａ＝ｅ－１，ｂ＝－１ 解析：因为ｙ′＝ａｅｘ＋ｌｎｘ＋１，所以ｙ′ｘ＝１＝ａｅ＋１， 所以切线方程为ｙ－ａｅ＝（ａｅ＋１）（ｘ－１）， 即ｙ＝（ａｅ＋１）ｘ－１，与切线方程ｙ＝２ｘ＋ｂ对照， 可得 ａｅ＋１＝２， ｂ＝－１{ ， 解得 ａ＝ｅ－１， ｂ＝－１{ ． 故选（Ｄ）． 点评：本题主要考查导数的几何意义、切线方程， 考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力． 题型二、利用导数研究函数的单调性 例４ （２０１９全国Ⅲ）已知函数ｆ（ｘ）＝２ｘ３－ａｘ２ ＋２． （１）讨论ｆ（ｘ）的单调性； （２）当０＜ａ＜３时，记ｆ（ｘ）在区间［０，１］的最大 值为Ｍ，最小值为ｍ，求Ｍ－ｍ的取值范围． 解析：（１）ｆ′（ｘ）＝６ｘ２－２ａｘ＝２ｘ（３ｘ－ａ）． 令ｆ′（ｘ）＝０，得ｘ＝０或ｘ＝ ａ３． 若ａ＞０，则当 ｘ∈ （－∞，０）∪ ａ３，＋( )∞ 时， ｆ′（ｘ）＞０； 当ｘ∈ ０，ａ( )３ 时，ｆ′（ｘ）＜０． 故ｆ（ｘ）在（－∞，０）， ａ３，＋( )∞ 上单调递增，在 ０，ａ( )３ 上单调递减； 若ａ＝０，ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）上单调递增； 若ａ＜０，则当 ｘ∈ －∞，ａ( )３ ∪ （０，＋∞）时， ｆ′（ｘ）＞０； 当ｘ∈ ａ ３，( )０时，ｆ′（ｘ）＜０． 故ｆ（ｘ）在 －∞，ａ( )３ ，（０，＋∞）上单调递增，在 ａ ３，( )０上单调递减． （２）当０＜ａ＜３时，由（１）知，ｆ（ｘ）在 ０，ａ( )３ 上单 调递减，在 ａ ３，( )１上单调递增， 所以ｆ（ｘ）在［０，１］的最小值为ｆ ａ( )３ ＝－ ａ３ ２７＋２， 最大值为ｆ（０）＝２或ｆ（１）＝４－ａ． 于是ｍ＝－ａ ３