微专题之《极化恒等式的迁移应用》-2020高考文科数学复习专号【抢分计划】题型解析冲击训练

书书书 一、问题的提出 近年，一线教师对平面向量问题的研究不断深入， 极化恒等式在解决平面向量问题上取得一些进展．随 着应用的推进，一些诸如“动点”、“曲线”、“运动动 态”、“极限状态”等平面向量复杂问题接踵而来．如何 让极化恒等式这个强大的解题工具合理迁移到这些复 杂问题的解决之中，带着这个问题，我们进行如下 探索． 二、极化恒等式 设 ａ，ｂ是平面内一组基 底，如图１所示，由恒等式ａ·ｂ ＝１４［（ａ＋ｂ） ２－（ａ－ｂ）２］可 得 ａ·ｂ＝ １４（ →｜ＡＣ｜２ － →｜ＢＤ｜２） →＝｜ＡＭ｜２ →－｜ＤＭ｜２，即→ＡＢ·→ →ＡＤ＝｜ＡＭ｜２－ →｜ＤＭ｜２，此等式称为极化恒等式．其几何意义是向量 的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形 的“和对角线”与“差对角线”平方差的 １ ４． 三、定理迁移 （一）融合三角形，化繁为简 例１ 如图２，在△ＡＢＣ中，Ｄ 是ＢＣ的中点，Ｅ，Ｆ是ＡＤ上的两个 三等分点， →ＢＡ·→ＣＡ＝４，→ＢＦ·→ＣＦ ＝－１，则→ＢＥ·→ＣＥ的值是 ． 解析：依题意， →ＢＡ·→ →ＣＡ＝ＡＢ· → →ＡＣ＝ＡＤ２ →－ＢＤ２ ＝４，→ＢＦ·→ →ＣＦ＝ＦＤ２ →－ＢＤ２ ＝１９ →ＡＤ２ →－ＢＤ２ ＝－１， 解得 →ＡＤ２ ＝４５８， →ＢＤ２ ＝１３８， 故 →ＢＥ·→ →ＣＥ＝ＥＢ·→ →ＥＣ＝ＥＤ２ →－ＣＤ２＝４９ →ＡＤ２ →－ＢＤ２ ＝ ７８． 例２ 设△ＡＢＣ中，Ｐ０是边ＡＢ上一定点，且满足 Ｐ０Ｂ＝ １ ４ＡＢ，且对边 ＡＢ上任一点 Ｐ，恒有 →ＰＢ·→ＰＣ≥ Ｐ０ → Ｂ·Ｐ０→ Ｃ，则有 （　　） （Ａ）∠ＡＢＣ＝９０° （Ｂ）∠ＢＡＣ＝９０° （Ｃ）ＡＢ＝ＡＣ （Ｄ）ＡＣ＝ＢＣ 解析：如图３，设线段 ＢＣ 的中点为Ｍ，则→ＰＢ·→ →ＰＣ＝ＰＭ２ →－ＢＭ２，Ｐ０→ Ｂ·Ｐ０→ Ｃ＝Ｐ０→Ｍ２ － →ＢＭ２． 因为对边ＡＢ上任一点Ｐ， 恒有 →ＰＢ·→ＰＣ≥ Ｐ０→ Ｂ·Ｐ０→ Ｃ，所 以 →ＰＭ２≥Ｐ０→Ｍ２恒成立，从而Ｐ０Ｍ⊥ＡＢ． 过Ｃ作ＣＨ∥Ｐ０Ｍ交ＡＢ于Ｈ，则ＣＨ⊥ＡＢ， 又Ｐ０Ｂ＝ １ ４ＡＢ，所以ＡＨ＝ＢＨ， 从而ＡＣ＝ＢＣ，故选（Ｄ）． （二）融合四边形，化难为易 例３ （２０１８年江苏南通 二模）如图 ４，在四边形 ＡＢＣＤ 中，Ｏ为ＢＤ中点，且ＯＡ＝３，ＯＣ ＝５．若→ＡＢ·→ＡＤ＝－７，则→ＢＣ·→ＤＣ 的值是 ． 解析：由 →ＡＢ·→ →ＡＤ＝ＡＯ２ － →ＯＤ２ ＝－７，得→ＯＤ２ ＝１６， 则 →ＢＣ·→ →ＤＣ＝ＣＢ·→ →ＣＤ＝ＣＯ２ →－ＯＤ２ ＝２５－１６＝ ９． 例４ （２０１８年湖北孝感一模）矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ ＝４，ＢＣ＝３，点Ｍ，Ｎ分别为边ＢＣ，ＣＤ上的动点，且ＭＮ ＝２，则→ＡＭ·→ＡＮ的最小值为 ． 解析：如图５，设Ｋ为ＭＮ的 中点，则由极化恒等式，得 →ＡＭ· → →ＡＮ＝ＡＫ２－１． 显然，Ｋ的轨迹是以点 Ｃ为 圆心，１为半径的圆周在矩形内 部的圆弧． 又ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２ ＝５，所以 →｜ＡＫ｜ｍｉｎ＝５－１ ＝４． 故 →ＡＭ·→ →ＡＮ＝ＡＫ２－１≥４２－１＝１５， 即 →ＡＭ·→ＡＮ的最小值为１５． （三）融合圆形，化动为定 例５ 已知正三角形ＡＢＣ内接于半径为２的圆Ｏ， Ｅ为线段ＢＣ上一动点，延长ＡＥ交圆Ｏ于点Ｆ，则→ＦＡ· →ＦＢ的取值范围是 ． 解析：如图６，过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ， 垂足为 Ｄ，连结 ＦＤ，则 Ｄ是 ＡＢ的中 点，且ＡＢ＝ 槡２３． 由极化恒等式，得 →ＦＡ·→ →ＦＢ＝ＦＤ２ －１４ →ＡＢ２ →＝ＦＤ２－３． 因为点Ｆ在劣弧ＢＣ上，有槡３≤ＦＤ≤３， 所以 →ＦＡ·→ＦＢ∈［０，６］． （四）融合几何体，化体为面 例６ （２０１８年湖南衡阳二模）在三棱锥Ｓ－ＡＢＣ 中，ＳＡ，ＳＢ，ＳＣ两两垂直且ＳＡ＝ＳＢ＝ＳＣ＝２，点Ｍ为 Ｓ－ＡＢＣ的外接球上任意一点，则→ＭＡ· →ＭＢ的最大值为 ． 解析：如图 ７，三棱锥 Ｓ－ ＡＢＣ（边长为２的正方体）的外接 球为球 Ｏ，Ｏ１为 ＡＢ的中点，连结 ＭＯ１． 由极化恒等式，得 →ＭＡ· →ＭＢ＝ →｜ＭＯ１｜２－２． 当Ｍ，Ａ，Ｂ在同一个大圆上且 ＭＯ１⊥ＡＢ，点Ｍ与线段ＡＢ在球心的异侧时， →｜ＭＯ１｜最 大，此时ＭＯ＝槡３，ＯＯ１ ＝１， 所以 →