微专题之《隐零点问题》-2020高考文科数学复习专号【抢分计划】题型解析冲击训练

书书书 在全国各地的高考试题中，与圆锥曲线的定义相 关的解几小题层出不穷，此类题一般重在从几何性质 与圆锥曲线定义的交汇处命题．那么，究竟怎样的问题 适合用圆锥曲线的定义来解答呢？ 和圆锥曲线的定义有关的问题，有其自身的特征， 其一要抓住其几何特征，在椭圆和双曲线中表现形式 为焦点三角形，在抛物线中表现形式为与焦半径和准 线相关的直角梯形，只不过其图形有些是隐性的有些 是显性的；其二要抓住其文字特征，比如与定义相关的 关键词是“焦点、准线、圆锥曲线上的点”，掌握其特征 并首先往定义方面考虑，往往能有效地提高解题速度， 挖掘出简洁的解题思路． 一、与焦半径和准线相关的直角梯形显性出现 例１过抛物线Ｃ：ｙ２＝４ｘ的焦点Ｆ，且斜率为槡３的 直线交Ｃ于点Ｍ（Ｍ在ｘ轴上方），ｌ为Ｃ的准线，点Ｎ在 ｌ上且ＭＮ⊥ｌ，则Ｍ到直线ＮＦ的距离为 ． 解析：如图１，准线ｌ交ｘ轴于 点Ｈ．由题设知∠ＭＦｘ＝６０°，ＭＮ ∥ＦＯ，所以∠ＦＭＮ＝６０°， 又由抛物线的定义知 ＭＮ＝ ＭＦ，所以△ＭＮＦ为正三角形，且 边长ＭＮ＝２ＦＨ＝２ｐ＝４， 所以Ｍ到直线ＮＦ的距离为 边ＮＦ的中线段，即为 槡２３． 二、与焦半径和准线相关的直角梯形隐性出现 例２已知直线ｌ１：４ｘ－３ｙ＋ ６＝０和直线ｌ２：ｘ＝－１，抛物线 ｙ２ ＝４ｘ上一动点Ｐ到直线ｌ１和 直线ｌ２的距离之和的最小值是 ． 解析：由题知，直线 ｌ２：ｘ ＝－１为抛物线ｙ２ ＝４ｘ的准线， 由抛物线的定义知，Ｐ到ｌ２的距离等于Ｐ到抛物线 的焦点Ｆ（１，０）的距离， 故本题转化为在抛物线ｙ２＝４ｘ上找一个点Ｐ使得 Ｐ到点Ｆ（１，０）和直线ｌ１的距离之和最小，易知最小值 为Ｆ（１，０）到直线ｌ１：４ｘ－３ｙ＋６＝０的距离， 即ｄｍｉｎ ＝ ｜４－０＋６｜ ５ ＝２． 三、焦点三角形显性出现 例３设椭圆Ｃ：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的左、右 焦点分别为 Ｆ１，Ｆ２，Ｐ是 Ｃ上的点，ＰＦ２ ⊥ Ｆ１Ｆ２， ∠ＰＦ１Ｆ２ ＝３０°，则Ｃ的离心率为 ． 解析：在Ｒｔ△ＰＦ１Ｆ２中，｜Ｆ１Ｆ２｜＝２ｃ． 设｜ＰＦ２｜＝ｘ，则｜ＰＦ１｜＝２ｘ，｜Ｆ１Ｆ２｜＝槡３ｘ． 由椭圆定义得，｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝２ａ＝３ｘ，２ｃ＝ 槡３ｘ．所以ｅ＝ ｃ ａ ＝ ２ｃ ２ａ＝ 槡３ｘ ３ｘ＝ 槡３ ３． 四、焦点三角形隐性出现 例４已知椭圆Ｃ：ｘ ２ ９＋ ｙ２ ４ ＝１，点Ｍ与Ｃ的焦点不 重合．若Ｍ关于 Ｃ的焦点的对称点分别为 Ａ，Ｂ，线段 ＭＮ的中点在Ｃ上，则｜ＡＮ｜＋｜ＢＮ｜＝ ． 解析：如图３，取 ＭＮ的中 点Ｐ，Ｐ在椭圆Ｃ上， 因为点 Ｍ关于 Ｃ的焦点 Ｆ１，Ｆ２的对称点分别为Ａ，Ｂ， 故有｜ＰＦ１｜＝ １ ２｜ＡＮ｜， ｜ＰＦ２｜＝ １ ２｜ＢＮ｜， 由椭圆定义知｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝２ａ，所以｜ＡＮ｜＋ ｜ＢＮ｜＝２（｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜）＝４ａ＝１２． 例５已知Ｆ是双曲线ｘ ２ ４－ ｙ２ １２＝１的左焦点，Ａ（１， ４），Ｐ是双曲线右支上的动点，则｜ＰＦ｜＋｜ＰＡ｜的最小 值为 ． 解析：设双曲线右焦点为Ｅ（４，０）， 由双曲线的定义知｜ＰＦ｜－｜ＰＥ｜＝２ａ＝４． 所以｜ＰＦ｜＋｜ＰＡ｜＝｜ＰＥ｜＋｜ＰＡ｜＋４≥｜ＡＥ｜＋ ４＝９，当且仅当Ａ，Ｐ，Ｅ三点共线时等号成立． 故｜ＰＦ｜＋｜ＰＡ｜的最小值为９． 书书书 求解导数压轴题时，经常会碰到导函数存在零点 但求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形，此时，我们 一般对零点设而不求，通过一种整体的代换和过渡，再 结合其他条件，从而最终获得问题的解决．我们称这类 问题为“隐零点”问题． 一、整体代换，直接求得函数最值 例１函数ｆ（ｘ）＝ｘｅｘ－ａｘ＋ｂ的图象在ｘ＝０处的 切线方程为ｙ＝－ｘ＋１． （１）求ａ和ｂ的值； （２）若ｆ（ｘ）满足：当ｘ＞０时，ｆ（ｘ）≥ｌｎｘ－ｘ＋ｍ， 求实数ｍ的取值范围． 解析：（１）ａ＝２，ｂ＝１．（详解略） （２）依题意：ｍ≤ｘｅｘ－ｘ－ｌｎｘ＋１， 构造函数ｇ（ｘ）＝ｘｅｘ－ｘ－ｌｎｘ＋１（ｘ＞０）， 则ｇ′（ｘ）＝（ｘ＋１）ｅｘ－１－１ｘ ＝（ｘ＋１）（ｘｅ ｘ－１） ｘ ， 设ｇ′（ｘ０）＝０，ｘ０＞０，则ｅ ｘ０＝１ｘ０ ，从而ｌｎｘ０＝－ｘ０， 又 (ｇ′ )１２ ＝ (３ 槡ｅ２－ )１ ＜０，ｇ′（１）＝２（ｅ－１） ＞０，所以ｘ０ (∈ １２， )１ ， 当 ｘ∈（０，ｘ０）时，ｇ′（ｘ）＜０，ｇ（ｘ）单调递减；当ｘ ∈（ｘ０，＋∞）时，ｇ′（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）单调递增． 所以ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝ｇ（ｘ０）＝ｘ０ｅ ｘ０－ｘ０－ｌｎｘ０＋１＝２． 而ｍ≤ｘｅｘ－ｘ－ｌｎｘ＋１恒成立ｍ≤ｇ（ｘ）ｍｉｎ， 故实数ｍ的取值范围为（－∞，２］． 二、整体代换，构造关于隐零点的单一函数进行卡 根 例２