《数理报》高考数学信息优化卷(二)一三角函数与平面向量-2020高考文科数学复习专号【抢分计划】题型解析冲击训练

书书书 解得ｍ＝０或ｍ＝２． 当ｍ＝２时，ｆ（ｘ）＝ｘ－２在（０，＋∞）上单调递减， 与题设矛盾，舍去． 所以ｍ＝０． （２）由（１）可知ｆ（ｘ）＝ｘ２， 当ｘ∈［１，２］时，ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）单调递增， 所以Ａ＝［１，４］，Ｂ＝［２－ｋ，４－ｋ］， 因为Ａ∪Ｂ＝Ａ，所以ＢＡ， 所以 ２－ｋ≥１， ４－ｋ≤ { ４０≤ｋ≤１． 故实数ｋ的取值范围是［０，１］． １８．解：（１）因为ｆ（ｘ）是奇函数， 所以ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ）， 即 －２－ｘ＋ｍ ２－ｘ＋１＋ｎ ＝－－２ ｘ＋ｍ ２ｘ＋１＋ｎ 对定义域内任意实数ｘ 成立， 化简整理得关于ｘ的恒等式（２ｍ－ｎ）·２２ｘ＋（２ｍｎ －４）·２ｘ＋（２ｍ－ｎ）＝０， 所以 ２ｍ－ｎ＝０， ２ｍｎ－４＝０{ ，即 ｍ＝－１， ｎ＝－{ ２或 ｍ＝１， ｎ＝２{ ． （２）由题意得ｍ＝１，ｎ＝２， 所以ｆ（ｘ）＝－２ ｘ＋１ ２ｘ＋１＋２ ＝ (１２ －１＋ ２２ｘ＋ )１ ， 易判断ｆ（ｘ）在Ｒ上递减， 因为ｆ（ｆ（ｘ））＋ｆ( )１４ ＜０， 所以ｆ（ｆ（ｘ））＜－ｆ( )１４ ＝ｆ－( )１４ ， 所以ｆ（ｘ）＞－１４，即 １ ２ －１＋ ２ ２ｘ＋( )１ ＞－ １ ４， 化简得２ｘ ＜３，解得ｘ＜ｌｏｇ２３， 故所求不等式的解集为（－∞，ｌｏｇ２３）． １９．解：（１）因为函数ｆ（ｘ）为定义在［－１，１］上的 奇函数， 当ｘ∈ ［－１，０］时，函数解析式为 ｆ（ｘ）＝ １ ４ｘ － ｂ ２ｘ （ｂ∈Ｒ）． 所以ｆ（０）＝ １ ４０ －ｂ ２０ ＝１－ｂ＝０，解得ｂ＝１， 即当ｘ∈［－１，０］时，ｆ（ｘ）＝ １ ４ｘ －１ ２ｘ ， 当ｘ∈（０，１］时，－ｘ∈［－１，０），所以ｆ（－ｘ）＝ １ ４－ｘ －１ ２－ｘ ＝４ｘ－２ｘ， 又因为ｆ（ｘ）＝－ｆ（－ｘ）， 所以ｆ（ｘ）＝２ｘ－４ｘ，ｘ∈（０，１］． （２）由（１）得：当ｘ∈（０，１］时，ｆ（ｘ）＝２ｘ－４ｘ， 令ｔ＝２ｘ（ｔ∈（１，２］）， 则ｆ（ｔ）＝ｔ－ｔ２，且ｆ（ｔ）在（１，２］上单调递减， 所以当ｔ＝２时，ｆ（ｔ）ｍｉｎ ＝－２，此时ｘ＝１， 即ｆ（ｘ）在（０，１］上的最小值为ｆ（１）＝－２， 因为对任意的ｘ∈（０，１］，总有ｆ（ｘ）≥ａ， 所以ａ≤ｆ（ｘ）ｍｉｎ，即ａ≤－２， 故实数ａ的取值范围是（－∞，－２］． ２０．解：（１）由题知，函数 ｆ（ｘ）是实数集 Ｒ上的奇 函数， 所以ｆ（－１）＝－ｆ（１）＝－（ｌｏｇ２１＋１－３）＝２． 当ｘ＜０时，－ｘ＞０， 所以ｆ（－ｘ）＝ｌｏｇ２（－ｘ）－ｘ－３， 即ｆ（ｘ）＝－ｆ（－ｘ）＝－ｌｏｇ２（－ｘ）＋ｘ＋３． 所以ｆ（ｘ）＝ －ｌｏｇ２（－ｘ）＋ｘ＋３，　ｘ＜０， ０， ｘ＝０， ｌｏｇ２ｘ＋ｘ－３， ｘ＞０ { ． （２）易知ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２ｘ＋ｘ－３在区间（０，＋∞）上 为增函数， 因为ｆ（２）＝ｌｏｇ２２＋２－３＝０，由零点存在性定理， 可知方程ｆ（ｘ）＝０在区间（０，＋∞）上有唯一解． 又函数ｆ（ｘ）是实数集Ｒ上的奇函数， 所以方程ｆ（ｘ）＝０在区间（－∞，０）上有解ｘ＝－２， 且ｆ（０）＝０，所以方程ｆ（ｘ）＝０在Ｒ上有３个零点． ２１．解：（１）ｆ（ｘ）＝ｘ２－２ｘ＋２＝（ｘ－１）２＋１． 当０≤ｘ≤２时，１≤ｆ（ｘ）≤２，则 －２≤ｆ（ｘ）≤２． 由有界函数定义可知ｆ（ｘ）＝ｘ２－２ｘ＋２，ｘ∈［０， ２］是有界函数． （２）由题意知对任意的ｘ≥０，都有 －３≤ｆ（ｘ）≤３． 所以有 －４－１ ４ｘ ≤ ａ ２ｘ ≤２－１ ４ｘ ， 即 －４×２ｘ－１ ２ｘ ≤ａ≤２×２ｘ－１ ２ｘ 在［０，＋∞） 上恒成立． 设ｔ＝２ｘ，由ｘ≥０，得ｔ≥１． 设ｈ（ｔ）＝－４ｔ－１ｔ（ｔ≥１），ｐ（ｔ）＝２ｔ－ １ ｔ（ｔ≥１）． 由题可得ｈ（ｔ）ｍａｘ≤ａ≤ｐ（ｔ）ｍｉｎ． 而ｈ（ｔ）在［１，＋∞）上单调递减，ｐ（ｔ）在［１，＋∞） 上单调递增．（单调性证明略） 所以ｈ（ｔ）在［１，＋∞）上的最大值为ｈ（１）＝－５， ｐ（ｔ）在［１，＋∞）上的最小值为ｐ（１）＝１． 所以 －５≤ａ≤１， 故实数ａ的取值范围为［－５，１］． ２２．（１）证明：假设 ｆ（ｘ）是奇函数，那么对于一切 ｘ∈Ｒ，有ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ）， 从而ｆ（０）＝－ｆ（０），即ｆ（０）＝０，但是ｆ（０）＝４０ ＋｜２０－ａ｜＝１＋｜１－ａ｜≠０，矛盾． 所以ｆ（ｘ）不是奇函数． （２）解：因为２ｘ ＞０，４ｘ ＞０， 所以当ａ≤０时，ｆ（ｘ）＝４ｘ＋２ｘ－ａ， 由ｆ（ｘ）＞ａ２得４ｘ＋２ｘ－ａ＞ａ２， 即４ｘ＋２ｘ－ａ（ａ＋１）＞０， 即（２ｘ－ａ）（２ｘ＋ａ＋１）＞０， 因为２ｘ－ａ＞０， 所以２ｘ＋ａ＋１＞０，即２ｘ ＞－（ａ＋１）． ① 当ａ＋１≥０，即 －１≤ａ≤０时，２ｘ＞－