《数理报》高考数学信息优化卷(三)一不等式与线性规划-2020高考文科数学复习专号【抢分计划】题型解析冲击训练

书书书 所以ｃｏｓ２α＋π( )６ ＝－ 槡 ２２ ３， 所以ｃｏｓ２α＝ [ (ｃｏｓ ２α＋π )６ －π ]６ ＝ (ｃｏｓ２α＋π )６ ｃｏｓπ６＋ (ｓｉｎ ２α＋π )６ ｓｉｎπ６ ＝－ 槡２２３ × 槡３ ２＋ １ ３× １ ２ ＝ １－ 槡２６ ６ ． １８．解：（１）由已知得ｆ（０）＝２ｓｉｎφ＝槡３， 即ｓｉｎφ＝槡３２，又｜φ｜＜ π ２，所以φ＝ π ３， 所以ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎωｘ＋π( )３ ． 因为ｆ（２）＝０，即２ｓｉｎ２ω＋π( )３ ＝０， 所以２ω＋π３ ＝ｋπ，ｋ∈Ｚ， 解得ω＝ｋπ２－ π ６，ｋ∈Ｚ，而０＜ω＜ π ２， 所以ω＝π３． （２）由（１）知，ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎ π ３ｘ＋ π( )３ ， 令ｆ（ｘ）＝槡３，即ｓｉｎ π３ｘ＋ π( )３ ＝槡 ３ ２， 解得 π ３ｘ＋ π ３＝２ｋπ＋ π ３或 π ３ｘ＋ π ３＝２ｋπ＋ ２π ３， ｋ∈Ｚ， 所以ｘ＝６ｋ或ｘ＝６ｋ＋１，ｋ∈Ｚ，由题图可知Ｂ（１，槡３）． 所以 →ＣＡ＝（－２，槡３），→ＣＢ＝（－１，槡３）， 所以 →｜ＣＡ｜＝槡７， →｜ＣＢ｜＝２， 所以ｃｏｓ∠ＡＣＢ＝ →ＣＡ·→ＣＢ → →｜ＣＡ｜｜ＣＢ｜ ＝ ５ 槡２７ ＝ 槡５７１４． １９．解：（１）在△ＡＢＣ中，Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π， 所以ｃｏｓＢ＋Ｃ２ ＝ｃｏｓ π－Ａ ２ ＝ｓｉｎ Ａ ２， 根据正弦定理，得槡３ｓｉｎＡｓｉｎＣ＝２ｓｉｎＣｓｉｎ ２ Ａ ２， 因为ｓｉｎＣ≠０，所以槡３ｓｉｎＡ＝２ｓｉｎ ２ Ａ ２． 所以槡３ｓｉｎＡ＝１－ｃｏｓＡ， 所以槡３ｓｉｎＡ＋ｃｏｓＡ＝１，即 (ｓｉｎ Ａ＋π )６ ＝１２， 又０＜Ａ＜π，π６ ＜Ａ＋ π ６ ＜ ７π ６， 所以Ａ＋π６ ＝ ５π ６，Ａ＝ ２π ３． （２）由题意得Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ｂｃｓｉｎＡ＝ 槡３ ４ｂｃ＝ 槡１５３ ４ ， 得ｂｃ＝１５， 由余弦定理得ａ２ ＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２＋ ｂｃ＝４９，即（ｂ＋ｃ）２－ｂｃ＝４９， 所以（ｂ＋ｃ）２－１５＝４９，ｂ＋ｃ＝８， 故△ＡＢＣ的周长为ａ＋ｂ＋ｃ＝１５． ２０．解：（１）因为ＢＣ＝ＣＤ＝２，∠ＢＣＤ＝１２０°， 所以∠ＣＢＤ＝∠ＢＤＣ＝３０°， 又对角线ＢＤ平分∠ＡＢＣ，所以∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ＝３０°． 在△ＢＣＤ中，由余弦定理，得 ＢＤ＝ ＢＣ２＋ＣＤ２－２ＢＣ·ＣＤｃｏｓ∠槡 ＢＣＤ ＝ ２２＋２２－２×２×２ｃｏｓ１２０槡 °＝ 槡２３． 在△ＡＢＤ中，由正弦定理，得 ＡＢ ｓｉｎ∠ＡＤＢ ＝ ＡＤｓｉｎ∠ＡＢＤ ， 所以ｓｉｎ∠ＡＤＢ＝ＡＢＡＤ·ｓｉｎ∠ＡＢＤ＝ 槡２ ２， 因为∠ＢＡＤ为钝角，所以∠ＡＤＢ＝４５°， 所以 ∠ＢＡＤ ＝１０５°．又 ｓｉｎ１０５°＝ｓｉｎ７５°＝ ｓｉｎ４５°ｃｏｓ３０°＋ｃｏｓ４５°ｓｉｎ３０°＝槡６＋槡２４ ， 所以 △ＡＢＤ的外接圆直径 ２Ｒ ＝ ＢＤｓｉｎ∠ＢＡＤ ＝ 槡２３ 槡６＋槡２ ４ ＝ 槡６２－ 槡２６，即Ｒ＝ 槡３２－槡６． （２）在△ＡＢＤ中，由正弦定理，得 ＡＢ ｓｉｎ∠ＡＤＢ ＝ ＢＤｓｉｎ∠ＢＡＤ ， 所以ＡＢ＝ＢＤｓｉｎ∠ＡＤＢｓｉｎ∠ＢＡＤ ＝ 槡２３×槡 ２ ２ 槡６＋槡２ ４ ＝６－ 槡２３． 又∠ＡＢＣ＝２∠ＡＢＤ＝６０°， 所以△ＡＢＣ的面积Ｓ＝１２ＡＢ·ＢＣｓｉｎ∠ＡＢＣ＝ １ ２ ×（６－ 槡２３）×２×槡 ３ ２ ＝３（槡３－１）． ２１．解：（１）ｆ（ｘ）＝（ｍ＋ｎ）·ｍ ＝ｍ２＋ｍ·ｎ ＝３ｓｉｎ２ｘ２＋１＋槡３ｓｉｎ ｘ ２ｃｏｓ ｘ ２＋ １ ２ ＝ ３２（１－ｃｏｓｘ）＋ 槡３ ２ｓｉｎｘ＋ ３ ２ ＝槡 (３ｓｉｎ ｘ－π )３ ＋３， 令２ｋπ＋π２≤ｘ－ π ３≤２ｋπ＋ ３π ２，ｋ∈Ｚ， 得２ｋπ＋５π６≤ｘ≤２ｋπ＋ １１π ６，ｋ∈Ｚ， 所以ｆ（ｘ） [的单调递减区间为 ２ｋπ＋５π６，２ｋπ＋１１π]６ ， ｋ∈Ｚ． （２）由（１）知ｆ（ｘ）＝槡 (３ｓｉｎ ｘ－π )３ ＋３， 把ｆ（ｘ）＝槡 (３ｓｉｎ ｘ－π )３ ＋３的图象上所有点的 横坐标伸长到原来的 ２倍（纵坐标不变），得到 ｙ＝ 槡 (３ｓｉｎ １２ｘ－π )３ ＋３的图象，再把得到的图象向左平 移 π ３个单位，得到ｙ＝槡 (３ｓｉｎ １２ｘ－π )６ ＋３的图象， 因此ｇ（ｘ）＝槡 (３ｓｉｎ １２ｘ－π )６ ＋３， 令 １ ２ｘ－ π ６ ＝ｋπ，得ｘ＝２ｋπ＋ π ３，ｋ∈Ｚ， 所以函数ｙ＝ｇ（ｘ） (图象的对称中心为 ２ｋπ＋π３， )３ ，ｋ∈Ｚ． ２２．解：（１）ｆ（ｘ）＝（槡３ｓｉｎωｘ－ｃｏｓωｘ）ｃｏｓωｘ＋ １ ２ ＝槡３ｓｉｎωｘｃｏｓωｘ－ｃｏｓ ２ωｘ＋１２