《数理报》高考数学信息优化卷(五)一数列-2020高考文科数学复习专号【抢分计划】题型解析冲击训练

书书书 又ＢＤ平面ＢＤＣ，所以平面ＡＣＤ⊥平面ＢＣＤ． （２）当点 Ｃ到半圆 Ｏ所在平面的距离为 ２时， Ｖ三棱锥Ｃ－ＡＢＤ ＝ １ ３Ｓ△ＡＢＤ ×２＝ ２ ３Ｓ△ＡＢＤ取得最大值，则 Ｓ△ＡＢＤ取得最大值． 易知点Ｄ为 ) ＡＢ的中点时，Ｓ△ＡＢＤ取得最大值，此时 （Ｓ△ＡＢＤ）ｍａｘ＝ １ ２×２×１＝１． 因为ＡＣ⊥ＡＢ，所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２×４×２＝４． 设点Ｄ到平面ＡＢＣ的距离为ｈ， 因为Ｖ三棱锥Ｃ－ＡＢＤ ＝Ｖ三棱锥Ｄ－ＡＢＣ， 所以 ２ ３×１＝ １ ３×４ｈ，解得ｈ＝ １ ２． 故当三棱锥Ｃ－ＡＢＤ的体积取得最大值时，点Ｄ到 平面ＡＢＣ的距离为 １２． ２０．解：（１）取ＢＤ的中点Ｎ，连接ＮＥ，则ＮＥ∥ＢＣ， 在四棱锥Ａ１－ＢＣＥＤ中，ＮＥ与ＢＣ的平行关系不变． 连接ＭＮ，在△ＤＡ１Ｂ中，ＭＮ∥Ａ１Ｂ， 又ＮＭ∩ＮＥ＝Ｎ，ＢＡ１∩ＢＣ＝Ｂ， 所以平面ＭＮＥ∥平面Ａ１ＢＣ， 又ＥＭ平面ＭＮＥ，所以ＥＭ∥平面Ａ１ＢＣ． （２）因为等边三角形ＡＢＣ的边长为３，且ＡＤＤＢ＝ ＣＥ ＥＡ ＝ １２，所以ＡＤ＝１，ＡＥ＝２． 在△ＡＤＥ中，∠ＤＡＥ＝６０°，由余弦定理得 ＤＥ＝ １２＋２２－２×１×２×ｃｏｓ６０槡 °＝槡３，从而ＡＤ ２＋ＤＥ２ ＝ＡＥ２，所以ＡＤ⊥ＤＥ． 折起后有Ａ１Ｄ⊥ＤＥ， 因为平面Ａ１ＤＥ⊥平面ＢＣＥＤ，平面Ａ１ＤＥ∩平面 ＢＣＥＤ＝ＤＥ，Ａ１Ｄ平面Ａ１ＤＥ， 所以Ａ１Ｄ⊥平面ＢＣＥＤ． 所以四棱锥Ａ１－ＢＣＥＤ的体积Ｖ＝ １ ３Ｓ四边形ＢＣＥＤ· Ａ１Ｄ，Ｓ四边形ＢＣＥＤ ＝Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ△ＡＤＥ ＝ １ ２ＣＢ·ＣＡｓｉｎ∠ＢＣＡ－ １ ２ＡＤ·ＤＥ＝ １ ２×３×３×ｓｉｎ６０°－ １ ２×１×槡３＝ 槡７３ ４， 所以Ｖ＝ １３× 槡７３ ４ ×１＝ 槡７３ １２． ２１．解：（１）取ＢＣ中点为Ｎ，连结ＭＮ，Ｃ１Ｎ， 因为Ｍ，Ｎ分别为ＡＢ，ＣＢ的中点， 所以ＭＮ∥ＡＣ∥Ａ１Ｃ１， 所以Ａ１，Ｍ，Ｎ，Ｃ１四点共面，且平面ＢＣＣ１Ｂ１∩平面 Ａ１ＭＮＣ１ ＝Ｃ１Ｎ， 又ＤＥ平面ＢＣＣ１Ｂ１，且ＤＥ∥平面Ａ１ＭＣ１， 所以ＤＥ∥Ｃ１Ｎ， 因为Ｄ为ＣＣ１的中点，所以Ｅ是ＣＮ的中点， 所以 ＣＥ ＥＢ＝ １ ３． （２）因为三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１为直三棱柱， 所以ＡＡ１⊥平面ＡＢＣ， 又ＡＣ⊥ＡＢ，则ＡＣ⊥平面ＡＢＢ１Ａ１， 设ＡＢ＝２ＡＡ１ ＝２，又△Ａ１ＭＣ１是等腰三角形， 所以Ａ１Ｍ ＝Ａ１Ｃ１ ＝槡２． 如图 ７，将几何体 ＡＡ１Ｍ － ＣＣ１Ｎ补成三棱柱ＡＡ１Ｍ－ＣＣ１Ｆ， 所以几何体ＡＡ１Ｍ－ＣＣ１Ｎ的 体积为 Ｖ１ ＝ １ ２·ＡＭ·ＡＡ１·ＡＣ－ １ ３· １ ２·ＣＦ·ＣＣ１·ＮＦ ＝ １２×１×１×槡２－ １ ３× １ ２×１×１× 槡２ ２ ＝ 槡５２１２， 又直三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１体积为Ｖ＝ １ ２×槡２×２ ×１＝槡２． 故剩余的几何体棱台 ＢＭＮ－Ｂ１Ａ１Ｃ１的体积为 Ｖ２ ＝Ｖ－Ｖ１ ＝ 槡 ７２ １２． 所以较小部分的体积与较大部分体积之比为 Ｖ１ Ｖ２ ＝ ５ ７． ２２．（１）证明：因为ＢＣ∥Ｂ１Ｃ１， 所以∠ＡＢ１Ｃ１是异面直线ＡＢ１，ＢＣ所成的角， 因为ＢＡ⊥平面ＡＡ１Ｃ１Ｃ，ＡＢ＝ 槡２２，ＡＡ１＝ＡＣ＝４， 所以在 Ｒｔ△ＡＡ１Ｂ１中，ＡＢ１ ＝ 槡２６，在 Ｒｔ△Ａ１Ｂ１Ｃ１ 中，Ｂ１Ｃ１ ＝ 槡２６， 因为∠Ａ１Ｃ１Ｃ＝ π ３，所以∠ＡＡ１Ｃ１ ＝ ２π ３， 所以在△ＡＡ１Ｃ１中，ＡＣ１ ＝ 槡４３， 所以在△ＡＢ１Ｃ１中，ＡＢ ２ １＋Ｂ１Ｃ ２ １ ＝ＡＣ ２ １ ＝４８， 所以△ＡＢ１Ｃ１为直角三角形， 所以∠ＡＢ１Ｃ１ ＝ π ２， 所以ＡＢ１⊥ＢＣ． （２）解：连结 ＡＣ１，交 Ａ１Ｃ于点 Ｏ，因为四边形 ＡＡ１Ｃ１Ｃ为菱形，所以Ｃ１Ｏ⊥Ａ１Ｃ， 因为ＢＡ⊥平面ＡＡ１Ｃ１Ｃ，Ｂ１Ａ１∥ＢＡ， 所以Ｂ１Ａ１⊥平面ＡＡ１Ｃ１Ｃ， 所以Ｃ１Ｏ⊥Ｂ１Ａ１， 因为Ａ１Ｃ∩Ａ１Ｂ１ ＝Ａ１， 所以Ｃ１Ｏ⊥平面Ｂ１Ａ１Ｃ， 所以∠Ｃ１Ｂ１Ｏ为直线Ｂ１Ｃ１与平面Ｂ１Ａ１Ｃ所成的角． 因为∠Ａ１Ｃ１Ｃ＝ π ３，所以△Ａ１Ｃ１Ｃ为正三角形， 所以Ｃ１Ｏ＝ 槡２３， 所以在Ｒｔ△Ｃ１ＯＢ１中，ｓｉｎ∠Ｃ１Ｂ１Ｏ＝ Ｃ１Ｏ Ｂ１Ｃ１ ＝槡２２， 所以∠Ｃ１Ｂ１Ｏ＝ π ４， 所以直线Ｂ１Ｃ１与平面Ｂ１Ａ１Ｃ所成角的大小为 π ４． （３）解：设点Ｃ１到平面ＡＢ１Ｃ的距离为ｈ， 因为在Ｒｔ△Ｂ１Ａ１Ｃ中，Ｂ１Ｃ＝ 槡２６， 所以Ｓ△Ｂ１ＡＣ ＝ 槡４５，且Ｓ△Ｃ１ＡＣ ＝ 槡４３， 因为ＶＢ１－Ｃ１ＡＣ ＝ＶＣ１－Ｂ１ＡＣ， 所以 １ ３×Ｓ△Ｃ１ＡＣ ×Ｂ１Ａ１ ＝ １ ３×Ｓ△Ｂ１ＡＣ ×ｈ， 所以 １ ３× 槡４３× 槡２２＝