专题08 轨迹方程与探索性问题-2020年高考数学(文)解析几何分类突破辅导【学科网名师堂】

《解答题题型分类突破》的考点五：解析几何 (文) 专题08 轨迹方程与探索性问题 一、分类透析 分类透析一 轨迹方程的求解 例1如图所示，已知椭圆＝1，直线l：x＝12，P是l上任意一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在线段OP上，且满足OQ·OP＝OR2，当点P在l上运动时，求点Q的轨迹方程．＋ 解析　设P(12，yP)，R(xR，yR)，Q(x，y)，∠POx＝α. ∵OR2＝OQ·OP，∴.·2＝ 由题意知xR>0，x>0，∴x＝x·12.① 又∵O，Q，R三点共线，∴kOQ＝kOR，即.②＝ 由①②得y.③＝ ∵点R(xR，yR)在椭圆＝1.④＋＝1上，∴＋ 由①③④得2(x－1)2＋3y2＝2 (x>0)， ∴点Q的轨迹方程是2(x－1)2＋3y2＝2 (x>0)． 【方法技巧】求轨迹方程的常见方法有： ①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； ③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可； ④逆代法，将代入. 分类透析二 探索性问题 例2. 已知椭圆E：＝1(0＜m2＜3)有公共的焦点，过椭圆E的右顶点R任意作直线l，设直线l交抛物线y2＝2x于M，N两点，且OM⊥ON.－＝1(a＞b＞0)与双曲线＋ (1)求双曲线的焦点坐标和椭圆E的方程； (2)设P是椭圆E上第一象限内的点，点P关于原点O的对称点为A、关于x轴的对称点为Q，线段PQ与x轴相交于点C，点D为CQ的中点，若直线AD与椭圆E的另一个交点为B，试判断直线PA，PB是否相互垂直？并证明你的结论． 解析 (1)由题意可知c双＝，＝ 故双曲线的焦点坐标为F1(－，0)．，0)、F2( 设点M(x1，y1)、N(x2，y2)，设直线l：ty＝x－a，代入y2＝2x并整理得 y2－2ty－2a＝0，所以 故 · ＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋a)(ty2＋a)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋at(y1＋y2)＋a2 ＝(t2＋1)(－2a)＋2at2＋a2＝a2－2a＝0， 解得a＝2.又c椭＝c双＝＋y2＝1.，所以椭圆E的方程为 (2)法一：判断结果：PA⊥PB恒成立． 证明如下：设P(x0，y0)，则A(－x0，－y0)， D(x0，－＝4，＋4yy0)，x 将直线AD的方程y＝(x＋x0)－y0代入椭圆方程并整理得 (4x＝0，－16xyx＋9x)x2－6x0y＋y 由题意可知此方程必有一根为－x0. 于是解得xB＝＋x0， 所以yB＝，－y0＝ 所以kPB＝＝－1，即PA⊥PB.×，故kPAkPB＝－＝－＝ 法二：判断结果：PA⊥PB恒成立． 证明如下：设B(x1，y1)，P(x0，y0)，则A(－x0，－y0)，D.＝－＝· ，故kBA·kBP＝＝－＝1，两式相减得＋y＝1，＋y， 又kAB＝kAD＝，＝－÷，代入上式可得kPB＝＝ 所以kPAkPB＝＝－1，即PA⊥PB.· 【方法技巧】解决探索性问题的一般步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在． 二、刷高考改编题 1.高考原题（2018年·上海卷第20题）设常数t>2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线 ： EMBED Equation.DSMT4 ，l与x轴交于点A，与 交于点B，P、Q分别是曲线 与线段AB上的动点. （1）用t为表示点B到点F的距离； （2）设t=3， ，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积； （3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在 上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由. 改编如下： 设常数t>2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线 ： EMBED Equation.DSMT4 ，l与x轴交于点A，与 交于点B，P、Q分别是曲线 与线段AB上的动点. （1）用t为表示点B到点F的距离，并求 的最大值； （2）设t=3， ，线段OQ的中点在直线FP上，求四边形AQPF的面积； （3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在 上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由. 解析（1）由抛物线的性质可知，抛物线 的准线为 ， 抛物线上的点 到焦点 的距离等于点 到准线 的距离， 由题意知，点 的横坐标为 ，则 ， ， ， 所以 的最大值为 . （2）当 时， 。 由曲线 ： EMBED Equation.DSMT4 知：点 的纵坐标为 ，则 。 由于 在线段 上，则点 的纵坐标取值在 之间。 由题意