北师大版高中数学选修4-4 1.3 柱坐标系和球坐标系_学案1

柱坐标系和球坐标系 【学习目标】 1．了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法。 2．理解柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式。 3．体会空间直角坐标、柱坐标、球坐标刻画点的位置的方法的区别。 【学习过程】 1．柱坐标系 如图1－3－1，建立空间直角坐标系O－xyz。设M(x，y，z)为空间一点，并设点M在xOy平面上的投影点P的极坐标为(r，θ)，则这样的三个数r，θ，z构成的有序数组(r，θ，z)就叫作点M的柱坐标，这里规定r，θ，z的变化范围为0≤r＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z＜＋∞。 1－3－1 特别地，r＝常数，表示的是以z轴为轴的圆柱面；θ＝常数，表示的是过z轴的半平面；z＝常数，表示的是与xoy平面平行的平面。 2．球坐标系 设M(x，y，z)为空间一点，点M可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O到点M间的距离，φ为有向线段O的角，这里P为点M在xOy平面上的投影(如图1－3－2)。这样的三个数r，φ，θ构成的有序数组(r，φ，θ)叫作点M的球坐标，这里r，φ，θ的变化范围为0≤r<＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π。与z轴正方向所夹的角，θ为从z轴正半轴看，x轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段O 1－3－2 特别地，r＝常数，表示的是以原点为球心的球面；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z轴为轴的圆锥面；θ＝常数，表示的是过z轴的半平面。 3．空间中点的坐标之间的变换公式 设空间一点M的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(r，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，则 空间直角坐标 柱坐标系 球坐标系 (x，y，z) 思考探究 1．空间中点的三种坐标各有何特点？ 提示：设空间中点M的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(r，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，它们都是有序数组，但意义不同。直角坐标为三个实数；柱坐标分别表示距离、角、实数；球坐标分别表示距离、角、角。 2．在空间的柱坐标系中，方程r＝r0(r0为不等于0的常数)，θ＝θ0，z＝z0分别表示什么图形？ 提示：在空间的柱坐标系中，方程r＝r0表示中心轴为z轴，底半径为r0的圆柱面，它是上述圆周沿z轴方向平行移动而成的。方程θ＝θ0表示与zOx坐标面成θ0角的半平面。方程z＝z0表示平行于xOy坐标面的平面，如图所示。常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐