陕西省西安中学2020届高三第二次模拟考试数学（理）试题（PDF版）

1 / 6 2020 级高三理科数学第二次模拟试题答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C B A A B D C B C B 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 13、 34 14、 1 15、 20 16、 甲 三、三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分 12分) ABC 的内角 A、B、C的对边分别为 , ,a b c，点 D为 AC的中点，已知 22sin 3sin 1, 3, 4 2 A B C a b      . （1）求角 C的大小和 BD的长； （2）设 ACB 的角平分线交 BD于 E，求 CED 的面积. 解：(1)在 ABC 中， 22sin 3sin 1 2 A B C    , 21 2sin 3sin 2 A B C      , 即： 3 cos( ) 3sin , tan 3 A B C C     ； 0 , 6 C C      在 BCD 中， 3, 2 2 b BC CD   ，由余弦定理知: 2 2 2 32 cos 3 4 2 3 2 1 2 BD BC CD BC CD C          , 1BD  ……………6分 (2) 在 BCD 中， CE为 C 平分线， 1 sin 2 1 sin 2 DCE BCE CD CE DCE S DE S EB CB CE BCE          2 3 DE CD BE CB    ， 2(2 3) , 2(2 3) (2 3)CDE CDB ACBDE DB S S S          而 1 sin 3, 2 3 3 2 ACB CDES CA CB C S       ……………12分 18.(本小题满分 12分) 在四棱锥 P ABCD 中， 2 3BC BD DC   ， 2AD AB PD PB    . B D P C E A 2 / 6 (Ⅰ)若点 E 为 PC 的中点，求证： BE ∥平面 PAD ； (Ⅱ)当平面 PBD 平面 ABCD时，求二面角C PD B  的余弦值. 18.(本小题满分 12分) (Ⅰ)取CD 的中点为M ，连结 EM ， BM . 由已知得， BCD 为等边三角形， BM CD . ∵ 2AD AB  ， 2 3BD  ， ∴ 30ADB ABD   ， ∴ 90ADC  ，∴ //BM AD. 又∵ BM 平面 PAD ， AD 平面 PAD ， ∴ BM ∥平面 PAD . ∵ E 为 PC 的中点， M 为CD 的中点，∴ EM ∥ PD . 又∵ EM 平面 PAD ， PD 平面 PAD ， ∴ EM ∥平面 PAD . ∵ EM BM M ，∴平面 BEM ∥平面 PAD . ∵ BE 平面 BEM ，∴ BE ∥平面 PAD . …………………………5分 (Ⅱ)连结 AC ，交 BD 于点O ，连结 PO ，由对称性知，O 为 BD 的中点，且 AC BD ， PO BD . ∵平面 PBD 平面 ABCD， PO BD ， ∴ PO 平面 ABCD， 1PO AO  ， 3CO  . 以O 为坐标原点，OC 的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 D xyz . 则 D (0， 3 ，0)，C (3，0，0)， P (0，0，1). 易知平面 PBD 的一个法向量为  1 1 0 0n  ，， . 设平面 PCD的法向量为  2n x y z ， ， ， 则 2n DC ， 2n DP ，∴ 2 2 0 0 n DC n DP       ， ∵  3 3 0DC  ， ， ，  0 3 1DP  ， ， ，∴ 3 3 0 3 0 x y y z       . 令 3y  ，得 1 3x z   ， ，∴  2 1 3 3n   ， ， ，∴ 1 21 2 1 2 1 13 cos 1313 n n n n n n        ， . 设二面角