专题02 函数及其性质-2020年高考数学(理)必考点强化辅导【学科网名师堂】

专题02 函数及其性质 【知识再现】 1.函数值域与最值求法 (1)配方法：对可化为关于某个函数的二次函数形式的函数，常用此法. (2)换元法：换元法是求最值的重要方法，是将复杂问题化为简单问题的重要工具，包括代数换元和三角代换两类方法，若是可化为关于某个函数的函数问题，常用代数换元法，设这个函数为，如是关于或的二次函数，如含和的函数等常用换元法，常设=，=，=，等等，在用代数换元法时，注意①新变量的范围.②在换元前后原变量的范围应保持不变；对于，满足圆的方程或椭圆的方程或可化为平方和为1的形式的二元函数的最值问题，常用三角代换即圆的参数方程或椭圆的参数方程；对定义域为或（0，1）的含二次根式的函数的最值问题，常设=或=，将其化为三角函数的最值问题，注意参数的范围. （3）利用函数有界性求值域（最值） 若可化为关于、、 、 （＞0且≠1）等函数的函数的最值问题，就利用这些函数的有界性求最值，这类问题通常有两种思路，（1）将函数解析式看作方程，用将，或表示出来，利用，等值域或范围，化为关于的不等式，通过解关于的不等式求出的范围，即可求出最值；利用这些函数的有界性，再利用不等式性质或函数的图像与性质，求出函数的最值. （4）不等式法 若已知函数的有界性或的范围，利用不等式的性质，求出的范围即为函数的值域. 若将函数式通过常量分离、常量代换、配凑等方法化为两项的和或两个因式积的形式，若为两项的和的形式，积为常数，或两个因式积的形式而因式的和（或平方和）为常数，则可以利用重要不等式求最值，利用重要不等式求最值时，.应注意均值不等式成立的条件：一正二定三相等这三个条件缺一不可；若在求最值时，多次用到均值不等式，一定要注意几个不等式能否同时取等号，若不能同时取等号，则取不到最值. （5）利用判别式求值域（最值） 对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式，在应用此法时注意定义域为除式子有意义外无其他限定条件，若有限定条件不能用此法，另外要注意要验证判别式为0时是否成立． （6）数形结合法 对易作出图像的函数，或几何意义比较明显的最值问题，常用数形结合法求最值，特别是三角函数在某个区间上的最值问题，先将其化为一个角的一个三角问题，再根据的范围，求出内函数的值域，结合三角函数的图像，求出三角函数的范围，在利用不等式的性质求出值域，这类最值问题是高考考查的重点 （7）分段函数的值域 先求出每段函数的值域，再求这些值域的并集即德函数的值域. （8）复合函数的值域 先求出复合函数的定义域，根据复合函数的定义域求出内函数的值域，内函数的值域作为外函数的定义域，在求出完函数的值域就是复合函数的值域. 2.分式函数（）图像与性质 通过常量分离化为：= 对称中心为（，），可将函数=的图像向左（＞0）(向右（＜0））平移||个单位，再向上（＞0）（向下（＜0））平移||个单位得到. 当＞0时，减区间为（-∞，），（，+∞）； 当＜0时，的增区间为（-∞，），（，+∞）. 3.二次函数解析式与性质 (1)解析式：①一般式; ②顶点式; ③零点式. （2）性质:顶点为（，），对称轴为：=； 当＞0时，减区间为（-∞，），增区间为（，+∞）； 当＜0时，增区间为（-∞，），减区间为（，+∞） 4.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当＞0时，，，. 若，则； (2)当＜0时，若，则， 若，则，. 5.一元二次方程的实根分布 ，是一元二次方程=0的根，设=. 根的分布 充要条件 充要条件1 充要条件2 ,∈(,+∞) ＞且 ＞ ,∈(-∞,) ＜且 ＜ ＜＜ ＜＜ ＜＜＜ ＜＜＜ 6. 不等式恒成立、有解判断结论： (1) (2)对于参数 及函数 . 若 恒成立，则 ；若 恒成立，则 ； 若 有解，则 ；若 有解，则 ； 若 有解，则 . 7.函数的单调性 (1)设那么 上是增函数； 上是减函数. (2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数. 8.单调函数性质与复合函数单调性 如果函数和在相同区间上是单调函数,则①增函数+增函数是增函数；②减函数+减函数是减函数；③增函数-减函数是增函数；④减函数-增函数是减函数； 如果函数和在其对应的定义域上都是减函数（增函数）,则复合函数是增函数. 如果函数和在其对应的定义域上一个是减函数另一个是增函数，则复合函数是减函数. 9．函数的奇偶性 是奇函数对定义域内任意，都有对定义域内任意，都有图像关于原点对称； 是偶函数对定义域内任意，都有对定义域内任意，都有图像关于轴对称； 10.函数的图象的对称性结