专题07 定值、定点问题-2020年高考数学(文)解析几何分类突破辅导【学科网名师堂】

《解答题题型分类突破》的考点五：解析几何（文） 专题07 定值、定点问题 一、分类透析 分类透析一 定值问题 例1 已知椭圆 的长轴长为 ，焦距为2，抛物线 的准线经过椭圆 的左焦点 . （1）求椭圆 与抛物线 的方程； （2）直线 经过椭圆 的上顶点且 与抛物线 交于 ， 两点，直线 ， 与抛物线 分别交于点 （异于点 ）， （异于点 ），证明：直线 的斜率为定值. 解析：（1）由题意，得 ， ，所以 ， ， 所以 ，所以椭圆 的方程为 ， 所以 ， 由于抛物线 的准线经过点 ，所以 ，所以 ， 故抛物线 的方程为 . （2）由题意知， 的斜率存在，故设直线 的方程为 ， 由 ，得 . 设 ， ，则 ，即 且 ， ， . 又直线 的方程为 ， 由 得 ， 所以 ，所以 ，从而 的坐标为 . 同理可得 的坐标为 ， 所以直线 的斜率 ，为定值. 【方法技巧】对于解析几何中的定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口． 分类透析二 定点问题 例2 已知抛物线y2＝2px (p>0)上有两个动点A、B及一个定点M(x0，y0)，F是抛物线的焦点，且AF、MF、BF成等差数列． 求证：线段AB的垂直平分线经过定点(x0＋p,0)． 证明　设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义，知 AF＝x1＋.，MF＝x0＋，BF＝x2＋ 因为AF、MF、BF成等差数列， 所以2MF＝AF＋BF，即x0＝. 设AB的中点为(x0，t)，t＝. 则kAB＝.＝＝＝ 所以线段AB的垂直平分线方程为y－t＝－(x－x0)， 即t[x－(x0＋p)]＋py＝0. 所以线段AB的垂直平分线过定点(x0＋p,0)． 【方法技巧】对于解析几何中的定点问题，常见的定点问题诸如：直线过定点问题、圆过定点问题。处理关键就是想法找到一个含有参数的方法，然后，说明该定点和参数无关。 二、刷高考改编题 1.高考原题（2018年·全国卷I文科第20题）设抛物线 ，点 ， ，过点 的直线 与 交于 ， 两点． （1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程； （2）证明： ． 改编如下： 设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点． （1）当直线的倾斜角为 时，求线段MN中点坐标的横坐标； （2）设直线BM、BN的斜率分别为 ，证明： ． 解析 （1）设M(x1，y1)、N(x2，y2)，因为直线的倾斜角为 ， 故直线MN的方程为： ， 联立方程组 ，消去 并整理，得 ， ，故线段MN中点坐标的横坐标为3. （2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN． 当l与x轴不垂直时，设l的方程为 ，M（x3，y3），N（x4，y4）， 则x3>0，x4>0． 由 得ky2–2y–4k=0，可知y3+y4= ，y3y4=–4．直线BM，BN的斜率之和为 ．①将 ， 及y3+y4，y3y4的表达式代入①式分子，可得 ．所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，又因为直线BM、BN的斜率分别为 ， 所以 ． 点评 高考原题和改编题都考查了抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系知识，原题则侧重考查直线的位置关系，而改编题则考查直线的斜率之间的关系问题，这些都是高考常规解题思路，需要引起高度的重视。 2.高考原题（2017年·全国卷I = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I文科第20题）在直角坐标系xOy中，曲线 与x轴交于A，B两点，点C的坐标为 .当m变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由； （2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 改编如下： 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的方程为． （1）设曲线C与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，点M，N为椭圆C上相异的两点，其中点M在第一象限，且直线AM与直线BN的斜率互为相反数，求证直线MN的斜率为定值 ． （2）在（1）条件下，求四边形AMBN面积的取值范围． 解析（1）据题可知A（3，0），B（0，1） 设AM的斜率为k，则直线AM方程为y=k（x﹣3），直线BN方程为y=﹣kx+1 ， 由，得M点坐标为， 由，得， 所以MN的斜率， （2）设MN的方程为， 由，得2x2+6mx+9m2﹣9=0，则， ， A到直线MN的距离分别为， B到直线MN的距离分别为， 所以四边形AMBN面积 =， 又﹣1＜m＜1，所以四边形AMBN面积的取值范围是． 点评 原题和改