2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学必修3【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

2．2.2　用样本的数字特征估计总体的数字特征 [课标领航]　1.会求样本的众数、中位数、平均数、方差、标准差．(重点)　2.理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法．(难点)　3.会应用相关知识解决简单的统计问题．(重点、易错点) 1．众数、中位数、平均数 数字特征 定义与求法 优点与缺点 众数 一组数据中重复出现次数最多的数 众数通常用于描述变量的值出现次数多的数，但显然它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征 中位数 把一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数据(或两个数据的平均数) 中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 平均数 如果有n个数x1，x2，x3，…，xn，那么这n个数的平均数＝(x1＋x2＋…＋xn). 平均数与每一个样本数据有关，可以反映样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低 ①众数，中位数，平均数在一组数据中是唯一的吗？ 【提示】　众数可以是多个，中位数，平均数是唯一的． ②由频率分布直方图求得的中位数与样本的中位数值一样吗？ 【提示】　不一定一样．因为样本数据的频率分布直方图，只是直观地表明分布的形状，但是从直方图本身得不出原始的数据内容，所以由频率分布直方图得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数值不一样． 2．标准差 (1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用以下公式来计算 s＝ . 可以用计算器或计算机计算标准差． (2)特征：标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小． 3．方差 (1)定义：标准差的平方，即 s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． (2)特征：与标准差的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动程度的大小． (3)取值范围：[0，＋∞)． 1．下面是高一(3)班十名同学的数学成绩：82,91,73,84,98,99,101,118,98,110，则该组数据的众数、中位数分别是(　　) A．98,98　　　　　　 B．118,98 C．73,97.5 D．98,98.5 解析：选A.出现最多的数为98，故98为众数，把这十个数从小到大排列后，中间两数为98,98，故中位数为×(98＋98)＝98. 2．下列说法正确的是(　　) A．在两组数据中，平均值较大的一组方差较大 B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小 C．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和 D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高 解析：选B.平均值的大小与方差的大小无任何联系，故A错．由方差的公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]知C错．对于D，方差大的表示其射击环数比较分散，而非射击水平高，故D错． 3．数据组8，－1,0,4，，4,3的众数是________． 解析：根据众数的定义可知该组数据的众数是4. 答案：4 4．数据组－5,7,9,6，－1,0的中位数是________． 解析：将该组数据按从小到大排列为－5，－1,0,6,7,9，则中位数是＝3. 答案：3 类型一　众数、中位数、平均数的简单应用 例1►高一(3)班有男同学27名，女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分． (1)求这次测验全班平均分(精确到0.01)； (2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？ (3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？ 【导析】　由众数、中位数、平均数的定义求解众数、中位数、平均数．并根据平均数的特征分析结论． 【解】　(1)利用平均数计算公式得 ＝(82×27＋80×21)≈81.13(分)． (2)∵男同学的中位数是75分， ∴至少有14人得分不超过75分． 又∵女同学的中位数是80分， ∴至少有11人得分不超过80分． ∴全班至少有25人得分低于80分(含80分)． (3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大．[来源:Z|xx|k.Com] 【方法总结】　(1)平均数对极端值敏感，而中位数对极端值不敏感，因此二者相结合，可较好地分析总体的情况． (2)平均数反映了平均水平，而中位数描述的是某种集中趋势． 1．据报道，某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下： 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2