3.3 几何概型（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学必修3【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

3.3　几何概型 [课标领航]　1.了解几何概型的意义，理解几何概型的特点．　2.理解几何概型的计算公式，并能利用公式求简单的概率问题．(重点)　3.掌握利用随机模拟的方法估计未知量的方法．(难点) 1．几何概型 (1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． (2)特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； ②每个基本事件出现的可能性相等． (3)概率计算公式： P(A)＝. 几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关系吗？ 【提示】　几何概型的概率只与构成事件的区域的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关． 2．均匀随机数 (1)定义：如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，则称这些实数为均匀随机数． (2)产生：①计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是RAND函数． ②Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand”． 1．下列概率模型中，几何概型的个数为(　　) ①从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到1的概率； ②从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率； ③从区间[－10,10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率； ④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率． A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：选B.①不是几何概型，虽然区间[－10,10]有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度； ②是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)； ③不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征； ④是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有相等可能被投到，故满足无限性和等可能性． 2．1升水中有1只微生物，任取0.1升水化验，则有微生物的概率为(　　) A．0.1　　　　　　　　 B．0.2 C．0.3 D．0.4 解析：选A.本题为几何概型题，所有基本事件对应的区域的几何度量为总的水的体积(1升)，事件A＝{任取0.1升水中含有微生物}包含的基本事件所对应的区域的几何度量为所取的水的体积(0.1升)，由几何概型概率公式可得P＝＝0.1. 3．在长度为1的线段AB上随机地选取一点P，则得到|PA|≤的概率是________． 解析：点P在线段AC上时满足|PA|≤，设|PA|≤成立为事件M，则有P(M)＝＝＝. 答案： 4．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________. 解析：根据几何概型，在线性问题中用长度之比表示概率，求m的值． 由|x|≤m，得－m≤x≤m. 当m≤2时，由题意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去． 当2<m<4时，由题意得＝，解得m＝3.即m的值为3. 答案：3 类型一　与长度有关的几何概型 例1►平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r＜a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率． 【导析】　→→ 【解】　把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，以随意取的两条平行线为例．由下图可知：圆心O在线段AB上的任意一点的出现是等可能的．由图发现O点在CD(不含点C、D)上出现时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是P(A)＝＝＝. 【方法总结】　判断基本事件应从“等可能”的角度入手，选择好观察的角度．本题是从圆心在线段AB上每一个点的出现都是一个等可能的基本事件入手的． 1．已知函数f(x)＝log2x，在区间上随机取一点x0，则使得f(x0)≥0的概率为________． 解析：f(x)＝log2x≥0可以得出x≥1，所以在区间上使f(x0)≥0的范围为[1,2]，所以使得f(x0)≥0的概率为P＝＝. 答案： 类型二　与角度有关的几何概型 例2►如图所示，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率． 【导析】　以O为起点作射线OA是随机的，因而射线OA落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关，符合几何概型的条件． 【解】　记B＝{射线OA落在∠xOT内}， ∵∠xOT＝60°，∴P(B)＝＝. 【方法总结】　此题关键是弄清过点O作射线OA可以在平面内任意的位置上，而且是均匀的，因而基本事件的发生是等可能的． 2．在圆心角为90°的扇形AOB中，以