专题05 直线与圆锥曲线的位置关系-2020年高考数学(文)解析几何分类突破辅导【学科网名师堂】

《解答题题型分类突破》的考点五：解析几何（文） 专题05 直线与圆锥曲线的位置关系 一、分类透析 分类透析一 直线与圆的综合问题 例1 在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A (1，0)，B (3，0)，C (0，1)． （1）求圆M的方程； （2）若直线l：mx－2y－(2m＋1)＝0与圆M交于点P，Q，且 ＝0，求实数m的值．· 解（1）方法（一）设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则 解得 所以圆M的方程x2＋y2－4x－4y＋3＝0． 方法（二）线段AC的垂直平分线的方程为y＝x，线段AB的垂直平分线的方程为x＝2， 由，解得M(2，2)． 所以圆M的半径r＝AM＝ 所以圆M的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5． （2）因为，．又由（1）得MP＝MQ＝r＝＝0，所以∠PMQ＝· 所以点M到直线l的距离d＝,2)． 由点到直线的距离公式可知，,2)，)＝ 解得m＝±． 【方法技巧】1.解决直线与圆的综合问题时，一方面，我们要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，我们要勤动手，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决，即注意圆的几何性质的运用. 2.解决直线与圆的综合问题时，经常要用到距离，因此两点间的距离公式、点到直线的距离公式要熟练掌握，灵活运用. 3.综合运用直线的有关知识解决诸如中心对称、轴对称等一些常见的问题. 分类透析二 直线与圆锥曲线交点问题 例2 已知抛物线 的焦点为 . (1)设抛物线上任一点 ,求证:以 为切点与抛物线相切的切线方程是 ; (2)若过动点 的直线 与抛物线 相切,试判断直线 与直线 的位置关系,并予以证明. 证明：（1）由抛物线 ： 得， ，则 ， 在点 切线的斜率 ， 切线方程是 ，即 又点 是抛物线上一点 EMBED Equation.3 ， 切线方程是 ，即 ， （也可联立方程证得） （2）直线 与直线 位置关系是垂直. 由（1）得，设切点为 ，则切线 方程为 ， 切线 的斜率 ， 点 ， 又点 ， 此时， ， EMBED Equation.3 直线 直线 。 【方法技巧】直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论，即联立方程组 通过消去y(也可以消去x)得到x的方程 ＋bx＋c＝0进行讨论.这时要注意考虑a＝0和a≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除a≠0，Δ＝0外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).由此可见，直线与圆锥曲线只有一个公共点，并不是直线与圆锥曲线相切的充要条件. 分类透析三 直线与圆锥曲线的位置关系问题 例3已知直线 与圆 相交，截得的弦长为 ． （1）求圆 的方程； （2）过原点 作圆 的两条切线，与抛物线 相交于 、 两点（异于原点）．证明：直线 与圆 相切； （3）若抛物线 上任意三个不同的点、、，且满足直线和都与圆 相切，判断直线与圆 的位置关系，并加以证明． 解析 （1）∵ ∴圆心到直线的距离为， ∵截得的弦长为 ∴ ∴圆的方程为： （2）设过原点的切线方程为：，即 ∴，解得： ∴过原点的切线方程为：，不妨设与抛物线的交点为，则 ，解得：，同理可求： ∴直线 ∵圆心到直线的距离为1且 ∴直线与圆相切； （3）直线与圆相切．证明如下： 设，则直线、、的方程分别为： ：，：；： ∵是圆的切线 ∴，化简得： ① ∵是圆的切线，同理可得： ② ……12分 则为方程的两个实根 ∴ ∵圆心到直线的距离为： ∴直线与圆相切． 【方法技巧】对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以借助于代数法进行判断，而对于直线与圆的位置关系，则可以借助于几何法比较便捷。 二、刷高考改编题 1.高考原题（2018年·北京文科第20题）已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 .斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B. （1）求椭圆M的方程； （2）若 ，求 的最大值； （3）设 ，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点 共线，求k. 改编如下： 已知椭圆