专题一 第2讲 三角恒等变换与解三角形(小题)（课件+作业）-2020高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(通用版)

第2讲　三角恒等变换与解三角形(小题) 热点一　三角恒等变换 1．三角求值“三大类型” “给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角恒等变换“四大策略” (1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化． 例1　(1)(2019·榆林模拟)若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β等于(　　) A. B. C.或 D.或 答案　A 解析　因为α，β都是锐角，且cos α＝<， 所以<α<， 又sin(α＋β)＝，而<<， 所以<α＋β<， 所以cos(α＋β)＝－＝－， sin α＝＝， cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝. (2)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<. 又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝. 又sin α＝，所以cos α＝， 所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×＝. 所以β＝. (3)－＋64sin220°＝________. 答案　32 解析　因为－＝ ＝ ＝ ＝＝ ＝＝32cos 40°， 所以－＋64sin220° ＝32cos 40°＋64×(1－cos 40°)＝32. 跟踪演练1　(1)(2019·晋中模拟)若sin＝，则sin等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意，根据诱导公式可得sin＝cos＝cos，又由余弦的倍角公式，可得cos＝1－2sin2＝1－2×2＝，即sin＝. (2)(2019·吕梁模拟)已知α∈，β∈，tan α＝，则(　　) A．α＋β＝ B．α－β＝ C．α＋β＝ D．α＋2β＝ 答案　B 解析　tan α＝＝ ＝ ＝＝＝tan， 又因为α∈，β∈， 所以α＝＋β，即α－β＝. 热点二　利用正弦、余弦定理解三角形 1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． 2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. 3．三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 例2　(1)(2019·衡阳联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，－－＝，△ABC外接圆的半径为3，则a＝________. 答案　3 解析　由题意可得＝， 根据余弦定理可知cos A＝－， 所以sin A＝，根据正弦定理可得＝6， 所以a＝3. (2)(2019·广州市铁一中学、广州大学附属中学、广州外国语学校联考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，a＝，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为________． 答案　5＋ 解析　因为A＝，a＝， 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A可得7＝b2＋c2－bc； 又△ABC的面积为， 所以bcsin A＝， 所以bc＝6， 所以b＋c＝＝＝5， 所以周长为a＋b＋c＝5＋. 跟踪演练2　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a＝1,4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为(　　) A．4π B．2π C．π D. 答案　D 解析　由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccos A，a＝1， 所以b2＋c2－1＝2bccos A， 又S＝bcsin A,4S＝b2＋c2－1， 所以有4×bcsin A＝2bccos A， 即sin A＝cos A，所以A＝， 由正弦定理得，＝2R，得R＝， 所以△ABC外接圆的面积为. (2)(2019·潮州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC边上的高为，则＋的最大值是________． 答案　 解析　因为BC边上的高为， 所以××a＝bcsin A， 即a2＝2bcsin A， 可得＋＝＝ ＝＝sin A＋cos A ＝sin≤， 当A＝时，等号成立， 故＋的最大值是. 热点三　正弦、余弦定理的实际应用 1．用正弦定理和余弦定理可解决距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问