专题一 第3讲 三角恒等变换与解三角形(大题)（课件+作业）-2020高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(通用版)

第3讲　三角恒等变换与解三角形(大题) 热点一　三角形基本量的求解 求解三角形中的边和角等基本量，需要根据正弦、余弦定理，结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图中标出来，然后确定转化的方向； 第二步：定工具，即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化； 第三步：求结果． 例1　(2019·湖北、山东部分重点中学联考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，已知acos A＝R，其中R为△ABC外接圆的半径，a2＋c2－b2＝S，其中S为△ABC的面积． (1)求sin C； (2)若a－b＝－，求△ABC的周长． 解　(1)由正弦定理得acos A＝， ∴sin 2A＝1，又0<2A<π， ∴2A＝，则A＝. 又a2＋c2－b2＝·acsin B， 由余弦定理可得2accos B＝acsin B， ∴tan B＝， 又0<B<π，∴B＝， ∴sin C＝sin(A＋B)＝sin＝. (2)由正弦定理得＝＝， 又a－b＝－，∴ 又sin C＝， ∴c＝·＝， ∴a＋b＋c＝＋＋. 跟踪演练1　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acos A＝bcos C＋ccos B. (1)求A； (2)若a＝7，b＝8，求c. 解　(1)方法一　由余弦定理cos B＝， cos C＝， 得2acos A＝bcos C＋ccos B＝a， ∴cos A＝. ∵0<A<π，∴A＝. 方法二　由正弦定理a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， c＝2Rsin C， 得4Rsin Acos A＝2Rsin Bcos C＋2Rsin Ccos B ＝2Rsin(B＋C)， A＋B＋C＝π，∴cos A＝， ∵0<A<π，∴A＝. (2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 得72＝82＋c2－2×8×c×， 即c2－8c＋15＝0， 解得c＝3或c＝5. 热点二　与三角形面积有关的问题[来源:学科网ZXXK] 三角形面积的最值问题主要有两种解决方法：一是将面积表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将面积用三角形某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定三角形面积的最值． 例2　(2019·湖南雅礼中学月考)已知函数f(x)＝cos＋2sin xcos x＋. (1)求函数f(x)的最小正周期和最小值； (2)设△ABC的 三 边 a，b，c 所对的角分别为A，B，C，若a＝2，c＝，f(C)＝＋，求△ABC的面积． 解　(1)f(x)＝cos＋2sin xcos x＋ ＝sin＋. ∴函数f(x)的最小正周期为T＝π，最小值为－1. (2)∵f(C)＝sin＋＝＋， ∴sin＝，∴C＝， 又a＝2，c＝. 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C可得b＝3(负值舍去)， ∴△ABC的面积为S△ABC＝absin C ＝×2×3×＝. 跟踪演练2　(2019·江淮十校联考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2ccos C＋bcos A＋acos B＝0. (1)求角C的大小； (2)若c＝3，A＝，求△ABC的面积． 解　(1)由正弦定理及已知条件 2ccos C＋bcos A＋acos B＝0 得，2sin Ccos C＋(sin Bcos A＋cos Bsin A)＝0， 即2sin Ccos C＋sin(B＋A)＝0， 2sin Ccos C＋sin C＝0， 又sin C>0，得cos C＝－， 又C∈(0，π)，∴C＝.[来源:Z§xx§k.Com] (2)由(1)知C＝，在△ABC中， 由正弦定理得，＝，∴a＝. 又由三角形的内角和定理得，B＝π－A－C＝， 即B＝A＝，∴a＝b＝， ∴△ABC的面积S＝absin C ＝···＝. 热点三　以平面几何为背景的解三角形问题 解决以平面几何为载体的解三角形问题，主要注意以下几方面：一是充分利用平面几何图形的性质；二是出现多个三角形时，从条件较多的三角形突破求解；三是四边形问题要转化到三角形中去求解；四是通过三角形中的不等关系确定角或边的范围． 例3　(2019·深圳调研)如图，在平面四边形ABCD中，AC与BD为其对角线，已知BC＝1，且cos∠BCD＝－. (1)若AC平分∠BCD，且AB＝2，求AC的长； (2)若∠CBD＝45°，求CD的长． 解　(1)若对角线AC平分∠BCD， 即∠BCD＝2∠ACB＝2∠ACD， ∴cos∠BCD＝2cos2∠ACB－1＝－， ∵cos∠ACB>0，∴cos∠ACB＝， ∵在△ABC中，BC＝1，AB＝2，cos∠ACB＝， ∴由余弦定理AB2＝BC2＋AC2－2BC