专题二 第1讲 数列、等差数列与等比数列(小题)（课件+作业）-2020高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(通用版)

第1讲　数列、等差数列与等比数列(小题) 热点一　等差数列、等比数列的基本运算 1．等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*) 等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d； 等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1. 等差数列的求和公式：Sn＝＝na1＋d； 等比数列的求和公式：Sn＝ 2．等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q； (2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列； (3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算． 例1　(1)(2019·福建省永春一中、培元中学、季延中学、石光中学四校联考)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝156，a2＋a4＋a6＝147，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大值时n的值为________． 答案　20 解析　设等差数列的公差为d， 由a1＋a3＋a5＝156，a2＋a4＋a6＝147，作差得3d＝－9， 所以d＝－3，所以数列{an}为递减数列， 又a1＋a3＋a5＝3a1＋6d＝3a1－18＝156， 解得a1＝58，所以an＝58－3(n－1)＝61－3n，n∈N*. 由an≥0得，61－3n≥0，即n≤20，n∈N*， 所以a20>0，a21<0，所以当n＝20时，Sn取最大值． (2)(2019·咸阳模拟)正项等比数列{an}中，存在两项am，an，使得＝2a1，且a6＝a5＋2a4，则＋的最小值是________． 答案　4 解析　数列an是正项等比数列且q≠1， 由a6＝a5＋2a4，得q2＝q＋2， 解得q＝2(负根舍去)． 由＝2a1， 得2m＋n－2＝22，m＋n＝4. 故＋＝··(m＋n) ＝≥ ＝(10＋6)＝4， 当且仅当 即时等号成立． 跟踪演练1　(1)(2019·长春模拟)等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，若a2＋a3＝10，S6＝54，则该数列的公差d为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 答案　C 解析　由题意知S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝54， 即a1＋a6＝a2＋a5＝a3＋a4＝18,2d＝a2＋a5－(a2＋a3)＝8，所以d＝4. (2)(2019·吕梁模拟)Sn为等比数列{an}的前n项和，a2＝1，a＝2a7，则S6等于(　　) A．31 B. C．63 D. 答案　B 解析　设数列{an}的公比为q， 则解得 所以S6＝×＝. (3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，a5＝1，则使得Sn>0成立的n的最大值为________． 答案　9 解析　因为a1＝9，a5＝1， 所以公差d＝＝－2， 所以Sn＝9n＋n(n－1)(－2)＝10n－n2， 令Sn>0，得0<n<10， 所以使得Sn>0成立的n的最大值为9. 热点二　等差数列、等比数列的性质 1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列有aman＝apaq＝a. 2．前n项和的性质： (1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外)． (2)对于等差数列，有S2n＋1＝(2n＋1)an＋1. 例2　(1)(2019·潍坊模拟)在等差数列{an}中，若a2＋a5＋a8＝42，则数列{an}的前9项和S9等于(　　) A．126 B．130 C．147 D．210 答案　A 解析　∵在等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝42， ∴a2＋a5＋a8＝3a5＝42， 解得a5＝14， ∴数列{an}的前9项和 S9＝(a1＋a9)＝9a5＝126. (2)(2019·西安陕师大附中、西安高级中学等八校联考)已知函数f(x)＝(x∈R)，若等比数列{an}满足a1a2 019＝1，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 019)等于(　　) A．2 019 B. C．2 D. 答案　A 解析　∵a1a2 019＝1， ∴f(a1)＋f(a2 019)＝＋ ＝＋＝＋＝2， ∵{an}为等比数列， 则a1a2 019＝a2a2 018＝…＝a1 009a1 011＝a＝1， ∴f(a2)＋f(a2 018)＝2，…，f(a1 009)＋f(a1 011)＝2，f(a1 010)＝1， 即f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 019)＝2×1 009＋1＝2 019. (3)已知数列{