专题三 规范答题示例3 立体几何（课件+作业）-2020高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(通用版)

典例3　(12分)(2017·全国Ⅲ) 如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD. (1)证明：AC⊥BD； (2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD.若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比． 审题路线图 (1)取AC的中点O→AC⊥OD，AC⊥OBAC⊥平面BOD→AC⊥BD (2) 规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 (1)证明　取AC的中点O，连接DO，BO，…………………………1分[来源:学科网ZXXK] 因为AD＝CD，所以AC⊥DO， 又由于△ABC是正三角形， 所以AC⊥BO. 又因为DO∩BO＝O， 从而AC⊥平面DOB，………………………………………………3分 故AC⊥BD. …………………………………………………………4分[来源:学科网ZXXK] (2)解　连接EO.………………………………………………………5分 由(1)及题设知∠ADC＝90°， 所以DO＝AO. 在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，[来源:Zxxk.Com] 又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2， 故∠DOB＝90°. ……………………………………………………7分 由题设知△AEC为直角三角形， 所以EO＝AC. ……………………………………………………8分 又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以AC＝BD， 又因为EO＝AC， 所以EO＝BD. 故E为BD的中点，………………………………………………10分 从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的， 四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，……………11分 即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1. …………12分 第一步 找线线：由等腰三角形底边上的中线垂直于底边，找出线线垂直. 第二步 找线面：通过线线垂直，利用判定定理，找线面垂直. 第三步 找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直，继而得出所要求证的线线垂直. 第四步 求体积比：对于等底的两个四面体，体积比等于高之比. 第五步[来源:Z.xx.k.Com] 写步骤：严格按照定理中的条件规范书写解题步骤. 评分细则　第(1)问：作出辅助线，并用语言正确表述得1分；分别得出AC⊥DO和AC⊥BO得1分，由线面垂直的判定写出AC⊥平面DOB，再得1分；由线面垂直的性质得出结论得1分． 第(2)问：作出辅助线，并用语言正确表述得1分；由勾股定理的逆定理得到∠DOB＝90°得2分；由直角三角形的性质得出EO＝AC得1分；得出E为BD的中点得2分；得出四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的得1分； 正确求出体积比得1分． 跟踪演练3　(2018·全国Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA. (1)证明：平面ACD⊥平面ABC； (2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q－ABP的体积． (1)证明　由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC. 又BA⊥AD，AD∩AC＝A，AD，AC⊂平面ACD， 所以AB⊥平面ACD. 又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC. (2)解　由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3. 又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2. 如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为E， 则QE∥DC且QE＝DC. 由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC， 所以QE⊥平面ABC，QE＝1. 因此，三棱锥Q－ABP的体积为[来源:学|科|网Z|X|X|K] VQ－ABP＝×S△ABP×QE ＝××3×2sin 45°×1＝1. $$ 立体几何 板块二　专题三　规范答题示例3 典例3　(12分)(2017·全国Ⅲ) 如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.   (1)证明：AC⊥BD； (2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD.若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比. 审题路线图 →AC⊥BD (2) 规范解答 · 分步得分 (1)证明　取AC的中点O，连接DO，BO，…………………………………1分 因为AD＝CD，所以AC⊥DO， 又由于△ABC是正三角形， 所以AC⊥BO. 又因为DO∩BO＝O， 从而AC⊥平面DOB，………………………………………………………3分 故AC⊥BD. …………………………………………………………………4分 (2)解　连接EO.………………………………………………………………………5分 由(1)及题设知∠ADC＝90°， 所以DO＝AO. 在Rt△AOB中